浙江省三校2019年数学5月份第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | x \geq 0} ， A = {x | x \geq 1}$ ，则 $C_{U} A$ ＝（）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x < 1}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的焦距是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i}{2 + i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} (x - y) (x + 2 y) \geq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ （）

A、有最小值，无最大值 B、有最大值，无最小值 C、有最小值，也有最大值 D、无最小值，也无最大值

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5. 已知平面 $α ， β$ ，直线 $m ， n$ ，若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $m \subset α ， n \subset β$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是“ $m ， n$ 中至少有一条与 $l$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知甲口袋中有 $3$ 个红球和 $2$ 个白球，乙口袋中有 $2$ 个红球和 $3$ 个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为 $ξ$ ，则 $E ξ =$ （）

A、 $\frac{14}{5}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7. 已知 ${log}_{2} (a - 2) + {log}_{2} (b - 1) \geq 1$ ，则 $2 a + b$ 取到最小值时， $a b =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $9$

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8. 已知正三棱锥 $P - A B C$ （底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线 $B C / /$ 平面 $α$ ， $E ， F ， G$ 分别是棱 $P A ， A B ， P B$ 上一点（除端点），将正三棱锥 $P - A B C$ 绕直线 $B C$ 旋转一周，则能与平面 $α$ 所成的角取遍区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 一切值的直线可能是（）

A、 $E F$ B、 $F G$ C、 $E G$ D、 $E F ， F G ， E G$ 中的任意一条

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9. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，记 $\vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $θ$ ，则 $θ$ 最大时， $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a > 0, a_{n + 1} = - a_{n}^{2} + t a_{n} (n \in N^{*})$ ，若存在实数 $t$ ，使 ${a_{n}}$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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二、填空题

11. 《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差 $30$ 文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两文．

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12. 若某几何体的三视图（单位： $cm$ ）如图所示，则该几何体最长的棱长是 $cm$ ，体积等于 ${cm}^{3}$ ．

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13. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $c = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $a \sin C =$ ． $a + b$ 的取值范围是．

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14. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，第 $5$ 项是常数项，则 $n =$ ．二项式系数最大的项的系数是．

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15. 定义 $max {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{matrix}$ ，已知函数 $f (x) = max {| x | ， - {(x - 1)}^{2} + b}$ ， $b \in R$ ， $f (1) > 1$ ，则 $b$ 的取值范围是，若 $f (x) = 2$ 有四个不同的实根，则 $b$ 的取值范围是．

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16. 某超市内一排共有 $6$ 个收费通道，每个通道处有 $1$ 号， $2$ 号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的 $3$ 处通道，要求 $3$ 处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有种．

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17. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $A (1, 2)$ 作直线 $l$ 交抛物线于另一点 $B$ ， $Q$ 是线段 $A B$ 的中点，过 $Q$ 作与 $y$ 轴垂直的直线 $l_{1}$ ，交抛物线于点 $C$ ，若点 $P$ 满足 $\bar{Q C} = \bar{C P}$ ，则 $| O P |$ 的最小值是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2} .$
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

（Ⅱ）若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， $α \in (\frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $G$ 是棱 $P A$ 的中点， $P C ⊥ A C$ ，且 $P B = A B = A C = B C = 2$ ， $P C = 1.$

（Ⅰ）求证：直线 $B G ⊥$ 平面 $P A C$ ；

（Ⅱ）求二面角 $P - A C - B$ 的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的各项均不为零，若 ${b_{n}}$ 是单调递增数列，且 $2 a_{n} = b_{n} \cdot b_{n + 1}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = b_{n + 1}^{2}, a_{1} = b_{2}, a_{2} = b_{6}$ .
（Ⅰ）求 $b_{1}$ 及数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $c_{n} + c_{n + 1} = {(\sqrt{2})}^{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{2 n}}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n} .$

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21. 对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，有如下性质：若点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆外一点， $P A$ ， $P B$ 是椭圆的两条切线，则切点 $A ， B$ 所在直线的方程是 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，利用此结论解答下列问题：
已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 和点 $P (2 ， t)$ $(t \in R)$ ，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点是 $A ， B$ ，记点 $A ， B$ 到直线 $P O$ （ $O$ 是坐标原点）的距离是 $d_{1}$ ， $d_{2} .$

（Ⅰ）当 $t = 0$ 时，求线段 $A B$ 的长；

（Ⅱ）求 $\frac{| A B |}{d_{1} + d_{2}}$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x - a ln x$ .

(1)、求函数的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = c$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0.$

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