浙江省金华十校2019届下学期数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}}$ ， $N = {x | x^{2} \leq x}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[0, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, 0]$

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2. 过点（1，0）且与直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 平行的直线方程是(　　)

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 1 = 0$

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3. 已知 $a, b \in R$ ，下列四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分不必要的条件是（）

A、 $a > b - 1$ B、 $a > b + 1$ C、 $| a | > | b |$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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4. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 4 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是（）

A、8 B、4 C、2 D、6

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5. 在下面四个 $x \in [- π ， π]$ 的函数图象中，函数 $y = | x | \sin 2 x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = b_{3}$ ，则 $a_{9}$ 能取到的最小整数是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $3$

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7. 设 $0 < p < 1$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列是

则当 $p$ 在 $B H \subset$ 内增大时（）

A、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 减小 B、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 增大 C、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 减小 D、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大

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8. 如图， $A B$ 是平面 $α$ 的斜线段， $A$ 为斜足，点 $C$ 满足 $\sin ∠ C A B = λ \sin ∠ C B A (λ > 0)$ ，且在平面 $α$ 内运动，则（）

A、当 $λ = 1$ 时，点 $C$ 的轨迹是抛物线 B、当 $λ = 1$ 时，点 $C$ 的轨迹是一条直线 C、当 $λ = 2$ 时，点 $C$ 的轨迹是椭圆 D、当 $λ = 2$ 时，点 $C$ 的轨迹是双曲线抛物线

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9. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，斜率为负数的直线 $B C$ 与 $y$ 轴交于 $M$ ，若原点 $O$ 是 $Δ A B C$ 的重心，且 $Δ B M A$ 与 $Δ C M O$ 的面积之比为 $\frac{3}{2}$ ，则直线 $B C$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = x e^{2 x}$ ，下列说法正确的是（）

A、任意 $m > - \frac{1}{2 e}$ ，函数 $y = f (x) - m$ 均有两个不同的零点； B、存在实数 $k$ ，使得方程 $f (x) = k (x + 2)$ 有两个负数根； C、若 $f (a) = f (b) (a \neq b)$ ，则 $- 1 < a + b < 0$ ； D、若实数 $a$ ， $b$ 满足 $e^{2 a} + e^{2 b} < 2 e^{- 1} (a \neq b)$ ，则 $f (a) \neq f (b)$ .

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二、填空题

11. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部是， $| z | =$ ．

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12. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程是，离心率为．

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13. 某几何体的三视图如图所示，正视图为腰长为1的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体的表面积是，体积是．

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14. 已知 $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{8} =$ ， $a_{3} =$ ．

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15. $5$ 位同学分成 $3$ 组，参加 $3$ 个不同的志愿者活动，每组至少 $1$ 人，其中甲乙 $2$ 人不能分在同一组，则不同的分配方案有种．（用数字作答）

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 内角所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 2$ 且 $c \cos B + b \cos C = 4 a \sin B \sin C$ ，则 $c$ 的最小值为．

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17. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ ，满足 $| \overset{⇀}{a} | = 4$ ， ${\begin{array}{l} {\overset{⇀}{m}}^{2} - \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{m} + 1 = 0 \\ {\overset{⇀}{n}}^{2} - \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{n} + 1 = 0 \end{array}$ ，则当 $| \overset{⇀}{m} - \overset{⇀}{n} | =$ ，则 $\overset{⇀}{m}$ 与 $\overset{⇀}{n}$ 的夹角最大．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $\cos 2 φ + \cos φ = 0$ .

(1)、求 $ω$ 和 $f (\frac{π}{2})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{3}{5} (0 < α < π)$ ，求 $\sin α$ ．

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} - \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C ⊥ C D$ ， $S C = S D = C D = D A = 1$ ， $C B = 2$ ， $A D / / B C$ ， $∠ S C B = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为线段 $S B$ 上的中点．

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $S B C$ 所成角的余弦值．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x$ ， $l_{2}$ ： $y = k_{2} x$ 分别与抛物线 $C$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ ，过 $A$ ， $B$ 的直线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切．

(1)、求直线 $A B$ 的方程（含 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ）；

(2)、若线段 $O A$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ，线段 $O B$ 与圆 $O$ 交于点 $N$ ，求 $S_{Δ M O N}$ 的取值范围．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n} > \sqrt{3}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}} + \frac{4}{a_{n}^{3}}$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ .

(1)、证明： $a_{n} > 2$ ；

(2)、证明： $\frac{15}{16} \leq \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1$ ；

(3)、证明： $\frac{n}{4} - \frac{8}{5} < T_{n} < \frac{n}{4}$ ．

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