浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

试卷更新日期：2020-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | -1<x < 1} ， Q= {x | 0 < x < 2}$ ，那么 $P \cup Q=$ （）

A、（-1,2） B、（0，1） C、（-1,0） D、（1,2）

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的一个焦点到一条渐近线的距离是（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\sqrt{5}$

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3. 复数 $\frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 - i$

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4. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $| x + 3 y |$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 设函数 $f (x) = x^{2} ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图像可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $m$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内，直线 $b$ 在平面 $β$ 内，且 $b ⊥ m$ 则“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分不必要条件

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7. 已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字 $X$ 的数学期望是2，则 $X$ 的方差是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ A B C$ 为正三角形， $P A > P B > P C$ ，且 $P$ 在底面 $A B C$ 内的射影在 $Δ A B C$ 的内部（不包括边界），二面角 $P - A B - C$ ，二面角 $P - B C - A$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 $α > β > γ$ B、 $γ > α > β$ C、 $α < γ < β$ D、 $α < β < γ$

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9. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 1$ 且 $\overset{⇀}{c} = - 2 \overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b} (t \in R)$ ，则 $| \overset{⇀}{c} | + | \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{19}$ C、5 D、 $\frac{9 \sqrt{13}}{4}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2}}{2018} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则使 $a_{n} > 1$ 的正整数 $n$ 的最小值是（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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二、填空题

11. 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为尺．

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12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）等于，表面积（单位：cm²）等于．

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13. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\tan (\frac{π}{4} + A) = 2$ ，则 $\sin A$ 的值为，若 $B = \frac{π}{4}$ ， $a = 4$ ，则 $Δ A B C$ 的面积等于.

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14. 若 ${(x - 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{0} + a_{2} + ... + a_{8} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 x, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ，若实数 $a < b < c$ ，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是．

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16. 现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有种.（结果用数字表示）

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17. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个顶点 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ，过 $A$ ， $B$ 分别作 $A B$ 的垂线交该椭圆于不同于的 $C$ ， $D$ 两点，若 $2 | B D | = 3 | A C |$ ，则椭圆的离心率是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

（Ⅱ）求方程 $f (x) = - \frac{1}{3}$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 内的所有实根之和.

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，且 $D E = \sqrt{3}$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E$ ，二面角 $A - C D - E$ 为 $30 °$ .

（Ⅰ）求证： $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ；

（Ⅱ）求 $A B$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，公差 $d \neq 0$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{9}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} S_{1} + b_{2} S_{2} + ... + b_{n} S_{n} = 6 - \frac{n^{2} + 4 n + 6}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $R_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + ... + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，试比较 $R_{n}$ 与 $\frac{1}{2} T_{n}$ 的大小.

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21. 已知抛物线 $L$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (5 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $L$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A F$ 交抛物线 $L$ 于另一点 $C$ ， $| A C |$ 的最小值为4.

（Ⅰ）求抛物线 $L$ 的方程；

（Ⅱ）记 $Δ A B C$ 、 $Δ A F M$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2}$ ， $g (x) = m \ln x (m > 0)$ ，曲线 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有且仅有一个公共点.
（Ⅰ）求 $m$ 的值；

（Ⅱ）若存在实数 $a$ ， $b$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $g (x) \leq a x + b \leq f (x) + 2$ 对任意正实数 $x$ 恒成立，求 $a$ 的最小值.

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