浙江省2020届高三数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知U＝R，集合 $A = {x | x < \frac{3}{2}}$ ，集合B＝{y|y＞1}，则∁_U（A∩B）＝（　　）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1] \cup [\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$

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2. 已知i是虚数单位，若 $z = \frac{3 + i}{1 - 2 i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（　　）

A、 $\frac{1 - 7 i}{3}$ B、 $\frac{1 + 7 i}{3}$ C、 $\frac{1 - 7 i}{5}$ D、 $\frac{1 + 7 i}{5}$

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的焦距为4，则其渐近线方程为（　　）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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4. 已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（　　）

A、β内一定能找到与l平行的直线 B、β内一定能找到与l垂直的直线 C、若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行 D、若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直

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5. 等差数列{a_n}的公差为d，a₁≠0，S_n为数列{a_n}的前n项和，则“d＝0”是“ $\frac{S_{2 n}}{S_{n}} \in$ Z”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 随机变量ξ的分布列如表：

ξ

﹣1

0

1

2

P

$\frac{1}{3}$

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，若 $E (ξ) = \frac{1}{9}$ ，则D（ξ）＝（　　）

A、 $\frac{1}{81}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{80}{81}$

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7. 若存在正实数y，使得 $\frac{x y}{y - x} = \frac{1}{5 x + 4 y}$ ，则实数x的最大值为（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、4

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8. 从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）

A、85 B、95 C、2040 D、2280

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9. 已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离h₁ ， h₂ ， h₃成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（　　）

A、α＝β B、β＝γ C、α＜β D、β＜γ

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10. 已知 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot \vec{b} \in [- 4 ， 0]$ ，则 $| \vec{a} |$ 的取值范围是（　　）

A、[0，1] B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、[1，2] D、[0，2]

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二、填空题

11. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则cosα＝， tan2α＝．

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12. 一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是，剩余部分表面积是．

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13. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ 2 x - y + m \leq 0 \\ y \leq 4 \end{array}$ ，若z=3x+y的最大值为7，则m＝．

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14. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{a x^{2}})}^{5} (a > 0)$ 的展开式中x^﹣⁵的系数与常数项相等，则a的值是．

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15. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ．若S₂＝6，a_n+1＝3S_n+2，n∈N^* ，则a₂＝， S₅＝．

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16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知acosB＝bcosA， $∠ A = \frac{π}{6}$ ，边BC上的中线长为4．则c＝； $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ ．

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17. 如图，过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点F₁ ， F₂分别作斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF₁ ， △BOF₂的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁：S₂＝7：5，则椭圆C离心率为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + s i n (2 x - \frac{π}{3}) + 2 c o s^{2} x ， x \in R$ ．

(1)、求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数f（x）在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁ ．

(1)、求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；

(2)、若D在B₁C₁上，满足B₁D＝2DC₁ ，求AD与平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

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20. 已知等比数列{a_n}（其中n∈N^*），前n项和记为S_n ，满足： $S_{3} = \frac{7}{16}$ ，
log₂a_n+1＝﹣1+log₂a_n ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{a_n•log₂a_n}（n∈N^*）的前n项和T_n ．

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21. 已知抛物线 $C ： y = \frac{1}{2} x^{2}$ 与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．

(1)、证明：直线AB恒过定点Q；

(2)、试求△PAB面积的最小值．

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22. 已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）．

(1)、求a的取值范围；

(2)、证明： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ ．

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ξ	﹣1	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	a	b	c