2019年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-03-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 3) (x + 1) > 0}$ ， $B = {x ‖ x - 1 | > 1}$ ，则 $(C_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(2,3]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$

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2. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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3. 已知 $a ， b$ 是不同的直线， $α ， β$ 是不同的平面，若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a / / β$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $b ⊥ α$ B、 $b / / α$ C、 $α ⊥ β$ D、 $α / / β$

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq 3 \\ x + y \geq 1 \\ y \leq 2 (x - 1) \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、11 B、10 C、6 D、4

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5. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若y轴上存在一点 $A$ ，使得以 $A$ 为圆心、半径为3的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $A$ 的纵坐标可以是（）

A、1 B、–3 C、5 D、-7

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 2 | - 1, x \leq 0 \\ \log_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (a) \leq 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty - 4] \cup [2, + \infty)$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[- 4, 0) \cup (0, 2]$ D、 $[- 4, 2]$

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7. 已知函数 $f (x) = \ln (| x |) \cdot \cos x$ ，以下哪个是 $f (x)$ 的图象（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $E$ 为边 $A D$ 上的一点， $D E = 1$ ，现将 $Δ A B E$ 沿直线 $B E$ 折成 $Δ A^{'} B E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $B C D E$ 上的射影在四边形 $B C D E$ 内（不含边界），设二面角 $A^{'} - B E - C$ 的大小为 $θ$ ，直线 $A^{'} B$ ， $A' C$ 与平面 $B C D E$ 所成的角分别为 $α ， β$ ，则（）

A、 $β < α < θ$ B、 $β < θ < α$ C、 $α < θ < β$ D、 $α < β < θ$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 有两个零点，则“ $- 2 \leq a + b \leq 0$ ”是“函数 $f (x)$ 至少有一个零点属于区间 $[0 ， 2]$ ”的一个（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $0 < a_{1} < \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (2 - a_{n})$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $0 < a_{2019} < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} < a_{2019} < 1$ C、 $1 < a_{2019} < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} < a_{2019} < 2$

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二、填空题

11. 复数 $z = \frac{{(1 - i)}^{2}}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的虚部为， $| z | =$ .

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12. 某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm），则该几何体的体积为 $c m^{3}$ ，表面积为 $c m^{2}$ .

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13. 若(x+2)(2x- 1)⁷=a₀+a₁x+a₂x²+… +a₈x⁸ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{2} =$ .

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D ， E$ 分别在线段 $B C ， A B$ 上， $A C = B C = 3 B D = 6$ ， $∠ E D C = 60 °$ ，则 $B E =$ ， $\cos ∠ C E D =$ .

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15. 某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是（用数字作答）．

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16. 已知 $A, B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的两点， $F$ 是焦点，直线 $A F, B F$ 的倾斜角互补，记 $A F, A B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ , $k_{2}$ ，则 $\frac{1}{k_{2}^{2}} - \frac{1}{k_{1}^{2}} =$ .

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17. 已知非零平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，且满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2} = 4$ ，记 $\vec{c} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ ，当 $\vec{b} ， \vec{c}$ 的夹角取得最大值时， $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{13}{10}, α \in (0, \frac{π}{3})$ ，求 $c o s α$ 的值.

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $Δ A B C$ 是等腰三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ B A A_{1} = 60 °$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B A C$ ，点 $M$ 是 $A A_{1} $ 的中点．

(1)、求证： $B B_{1} ⊥ C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $C B_{1} M$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{5} = 5$ ， $S_{3} = a_{6}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = 4,$ $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = (2 n - 2) b_{n} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots c_{n} < 2$ ．

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ ， $F$ 为其焦点，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} $ ， $F_{2} $ 为其左右焦点，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过 $F$ 作 $x$ 轴的平行线交椭圆于 $P ， Q$ 两点， $| P Q | = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过抛物线上一点 $A$ 作切线 $l$ 交椭圆于 $B ， C$ 两点，设 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $D$ ， $B C$ 的中点为 $E$ ， $B C$ 的中垂线交 $x$ 轴为 $K$ ， $Δ K E D$ ， $Δ F O D$ 的面积分别记为 $S_{1} $ ， $S_{2} $ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{18}{49}$ ，且点 $A$ 在第一象限．求点 $A$ 的坐标．

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22. 设 $a$ 为实常数，函数 $f (x) = a x^{2} ， g (x) = e^{x} ， x \in R$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2 e}$ 时，求 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $m \in N^{*}$ ，不等式 $f (2 x) + g (x) \leq m$ 的解集为 $A$ ，不等式 $f (x) + g (2 x) \leq m$ 的解集为 $B$ ，当 $a \in (0 ， 1]$ 时，是否存在正整数 $m$ ，使得 $A \subseteq B$ 或 $B \subseteq A$ 成立．若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由．

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