浙江省超级全能生2019年9月高三数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-03-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 记全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 4 \geq 0}$ ，集合 $B = {x | 2^{x} \geq 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、Ø C、 $[1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2)$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数z的模长等于（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

查看试题解析
3. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y + 2 \geq 0 ， \\ 3 x - 2 y - 4 \leq 0 ， \\ 2 x - 3 y + 4 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、-2 B、12 C、-4 D、8

查看试题解析
4. 在同一直角坐标系中，函数 $y = a x^{2} + b x$ ， $y = a^{x - b}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 已知直线 $m ， l$ ，平面 $α ， β$ 满足 $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则“ $l ∥ m$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 已知随机变量 $ξ$ 满足下列分布列，当 $p \in (0 ， 1)$ 且不断增大时，（）

$ξ$

0

1

2

$P$

${(1 - p)}^{2}$

$2 p (1 - p)$

$p^{2}$

A、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大 B、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 减小 C、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 先增大后减小 D、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 先减小后增大

查看试题解析
7. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，右支上存在点 $B$ 满足 $B F ⊥ A F$ ，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为 $M$ ，且 $\overset{⇀}{A M} = 2 \overset{⇀}{M B}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = (\ln x - 1) {(x - 2)}^{i} - m (i = 1 ， 2)$ ，e是自然对数的底数，存在 $m \in R$ （）

A、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 B、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个 C、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 D、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个

查看试题解析
9. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，动点 $M$ 在线段 $C A_{1}$ 上滑动（包含端点），记 $B M$ 与 $B_{1} A_{1}$ 所成角为 $α$ ， $B M$ 与平面 $A B C$ 所成线面角为 $β$ ，二面角 $M - B C - A$ 为 $γ$ ，则（）

A、 $β \geq α ， β \leq γ$ B、 $β \leq α ， β \leq γ$ C、 $β \leq α ， β \geq γ$ D、 $β \geq α ， β \geq γ$

查看试题解析
10. 已知函数 $\begin{array}{l} f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | - 1 ， x \leq 2 ， \\ - \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 ， \end{array} \end{array}$ 若函数 $g (x) = x \cdot f (x) - a$ $(a \geq - 1)$ 的零点个数为2，则（）

A、 $\frac{2}{3} < a < \frac{8}{7}$ 或 $a = - 1$ B、 $\frac{2}{3} < a < \frac{8}{7}$ C、 $\frac{7}{8} < a < \frac{3}{2}$ 或 $a = - 1$ D、 $\frac{7}{8} < a < \frac{3}{2}$

查看试题解析

二、填空题

11. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右书中对一些特殊的柱体、锥体有特定的命名。例如，将长方体切制成两个一模一样的三角柱体称之为“堑堵”。若某一个“哲堵”的三视图如图所示，则该柱体的外接球表面积是。

查看试题解析
12. 已知 $x^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a_{0} =$ ；若 $a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $n =$ 。

查看试题解析
13. 已知单位向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 夹角为60°， $| {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2} | =$ ， $| {\vec{e}}_{1} + λ {\vec{e}}_{2} | (λ \in R)$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，若 $A B = \frac{4 \sqrt{6}}{3} ， B C = 2 ， B D = \sqrt{5}$ ，则 $\cos ∠ A B C =$ ， $\sin C =$ ．

查看试题解析
15. 将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是。

查看试题解析
16. 设 $F （ 0 ， - 3 ）$ 是椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，点 $A (0 ， 2)$ ，若椭圆上存在点 $P$ 满足 $| P A | + | P F | = 9$ ，则椭圆离心率的取值范围是。

查看试题解析
17. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{n + 1} = k (| a_{n} | - a_{n}^{2})$ .若 $a_{1} = \frac{1}{2} ， k = 1$ 则 ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ 的最小值是，若 $a_{1} = 2$ ，且存在常数 $M > 0$ ，使得任意 $| a_{n} | \leq M$ ，则 $k$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{3}) \cdot \cos x - \frac{1}{4}$ ．
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值和 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）函数 $f (x + θ)$ 是奇函数 $(θ \in [0 ， \frac{π}{2}])$ ，求函数 $y = {[f (x + θ)]}^{2}$ 的值域．

查看试题解析
19. 已知棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 60 ˚$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90 ˚$ ， $A A_{1} = A C = C C_{1} = \frac{A_{1} C_{1}}{2}$ ，D，E分别是 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

（Ⅱ）求 $D E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $\sqrt{a_{4}}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等比中项， $a_{3} + 1$ 为 $a_{2}$ ， $a_{4}$ 的等差中项。
（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设 $b_{n} = a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} ， (n \in N^{*})$ 数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{5}{3}$ 。

查看试题解析
21. 如图，已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过抛物线上点B作切线 $l ： y = 2 x - 4$ 交y轴于点 $A ．$

（Ⅰ）求抛物线方程和切点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）过点 $A$ 作抛物线的割线，在第一象限内的交点记为 $D$ ， $E$ ，设 $F$ 为y轴上一点，满足 $| F D | = | F E |$ ， $M$ 为 $D E$ 中点，求 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A M F}}$ 的取值范围。

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a (\sqrt{x} + \frac{\ln x}{2}) + \frac{1}{x}$ 。
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）设 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2 x}$ ，若 $g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 有极值点 $x_{0}$ ，求证： $g (x_{0}) < 1$ 。

查看试题解析

$ξ$	0	1	2
$P$	${(1 - p)}^{2}$	$2 p (1 - p)$	$p^{2}$