山西省晋中市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合M={x|x²+x﹣12≤0}，N={y|y=3^x ， x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）

A、（0，3] B、[﹣4，3] C、[﹣4，0） D、[﹣4，0]

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2. 设两条直线l₁：（3+m）x+4y=5﹣3m，l₂：2x+（5+m）y=8，则l₁∥l₂是m＜﹣4的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下面的命题中不正确的是（）

A、若a∥b，a⊥α，则b⊥α B、若a⊥β，a⊥α，则α∥β C、若a⊥α，a⊂β，则α⊥β D、若a∥α，α∩β=b，则a∥b

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4. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁ ， x₂∈（﹣∞，0），有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则（）

A、f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2） B、f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣4） C、f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣4） D、f（﹣4）＜f（﹣2）＜f（3）

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5. 函数f（x）=2sin（3x+φ）的图象向右平移动 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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6. 函数y=x³（x＞0）的图象在点 $(a_{k} ， a_{k}^{3})$ 处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k₊₁ ，其中k∈N^* ，若a₁=27，则a₂+a₄的值为（）

A、24 B、16 C、26 D、27

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7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{26 π}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$

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8. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为BB₁的中点，则直线MC与平面ACD₁所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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9. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x + 1 | ， & x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， & x > 0 \end{matrix}$ ，若方程f（x）=a有四个不同的解x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，则x₃（x₁+x₂）+ $\frac{1}{x_{3}^{2} x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、（﹣1，+∞） B、（﹣1，1] C、（﹣∞，1） D、[﹣1，1）

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10. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，圆O：x²+y²=a²与y轴正半轴交于点B，过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点A，若∠AOB=60°，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x²+y²= $\frac{a^{2}}{4}$ 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O E} - \vec{O F}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x²在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式 $\frac{f (p + 1) - f (q + 1)}{p - q} > 1$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、[15，+∞） B、 $[- \frac{1}{8} ， + \infty)$ C、[1，+∞） D、[6，+∞）

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二、填空题

13. 已知圆C：x²+y²﹣2 $\sqrt{3}$ x+2y﹣5=0，则圆中经过原点的最短的弦所在直线的方程为．

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14. 已知数列{a_n}满足a_n₊₂+a_n=a_n₊₁ ，且a₁=2，a₂=3，则a₂₀₁₇= ．

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15. 若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e²]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是．

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16. 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．

(1)、求角C的大小；

(2)、若c= $\sqrt{3}$ ≤a，求2a﹣b的取值范围．

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18. 设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a_n²﹣2S_n=2﹣a_n（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{3}{a_{2 n} a_{2 n + 2}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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19. 在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：
空气质量指数t
（0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，300]
（300，+∞）
质量等级
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
严重污染
天数K
5
23
22
25
15
10

(1)、在该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t取整数）存在如下关系y= ${\begin{matrix} t ， t \leq 100 \\ 2 t - 100 ， 100 < t \leq 300 \end{matrix}$ ，且当t＞300时，y＞500估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；

(2)、若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合于曲线 $\hat{y} = a + b l n t$ ，现已取出了10对样本数据（t_i ， y_i）（i=1，2，3，…，10），且 $\sum_{i = 1}^{10} l n t_{i} = 70 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 6000 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i} l n t_{i}$ =42500， $\sum_{i = 1}^{10} {(l n t_{i})}^{2}$ =500，求拟合曲线方程．
（附：线性回归方程 $\hat{y}$ =a+bx中，b= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n_{x}^{-} \cdot_{y}^{-}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n_{x}^{-}^{2}}$ ，a= $\hat{y}$ ﹣b $\hat{x}$ ）

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20. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4 $\sqrt{5}$ ．

(1)、设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)、求四棱锥P﹣ABCD的体积．

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21. 已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．
（I）求曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣ax²﹣bx（a，b∈R），g（x）= $\frac{2 x - 2}{x + 1}$ ﹣lnx．

(1)、当a=﹣1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；

(2)、当a，b都为0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁＜x₂）于两点，求证：x₁＜ $\frac{1}{k} < x_{2}$ ．

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空气质量指数t	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	（300，+∞）
质量等级	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	严重污染
天数K	5	23	22	25	15	10