河南省平顶山市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则 $\bar{z}$ =（）

A、2﹣3i B、2+3i C、3+2i D、3﹣2i

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2. 已知p：|2x﹣3|＜1，q：x（x﹣3）＜0，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数 $\bar{x} = 3 ， \bar{y} = 3.5$ ，则由观测的数据所得的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y} = - 0.3 x + 4.4$ B、 $\hat{y} = - 2 x + 9.5$ C、 $\hat{y} = 2 x - 2.4$ D、 $\hat{y} = 0.4 x + 2.3$

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4. 若实数a、b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是（）

A、18 B、2 $\sqrt[4]{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、6

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5. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₂a₃=5，a₇a₈a₉=10，则a₄a₅a₆=（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、5 $\sqrt{2}$ C、6 D、7

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6. 已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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7. △ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b= $\sqrt{3}$ ，则c=（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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8. 命题“∀x∈[0，+∞），x³+x≥0”的否定是（）

A、∀x∈（﹣∞，0），x³+x＜0 B、∀x∈（﹣∞，0），x³+x≥0 C、∃x₀∈[0，+∞），x₀³+x₀＜0 D、∃x₀∈[0，+∞），x₀³+x₀≥0

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9. 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞ $\frac{1}{2}$ }，则f（10^x）＞0的解集为（）

A、{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B、{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C、{x|x＞﹣lg2} D、{x|x＜﹣lg2}

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10. 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，例如[2.34]=2，[﹣1.5]=﹣2，令{x}=x﹣[x]，则 ${\frac{\sqrt{5} + 1}{2}} ， [\frac{\sqrt{5} + 1}{2}] ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ （）

A、是等差数列但不是等比数列 B、既是等差数列也是等比数列 C、是等比数列但不是等差数列 D、既不是等差数列也不是等比数列

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11. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知f（x）=x³﹣6x²+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 设x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 3 \\ x - 2 y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=x+4y的最大值为．

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14. 曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．

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15. 某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．

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16. 已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．

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三、解答题

17. 已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和．

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18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了6个试销售数据，得到第i个销售单价x_i（单位：元）与销售y_i（单位：件）的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 51 ， \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 480 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 4066 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 434.2 ．$

(1)、求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）
附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\overset{\land}{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\overset{\land}{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 是样本平均值．

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19. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100

(1)、根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

(2)、已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（K²＞k₀）
0.10
0.05

0.01
0.005
k₀
2.706
3.841

6.635
7.879

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）

(1)、若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程，并求出准线方程；

(2)、设p=2，A，B是C上异于坐标原点O的两个动点，满足OA⊥OB，△ABO的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

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21. 设函数f（x）=ln（x+1）+a（x²﹣x），a≥0．

(1)、当a=1时，求函数f（x）的极值；

(2)、若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

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22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、将直线l： ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）化为极坐标方程；

(2)、设P是（1）中直线l上的动点，定点A（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ），B是曲线ρ=﹣2sinθ上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．

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23. 解答题

(1)、解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；

(2)、设a²﹣2ab+5b²=4对∀a，b∈R成立，求a+b的最大值及相应的a，b．

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	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
合计	70	30	100