河北省秦皇岛市卢龙县2016-2017学年高二学期数学期末考试试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若复数 $\frac{a + 3 i}{1 + 2 i}$ （a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）

A、﹣2 B、4 C、﹣6 D、6

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2. 设a，b是实数，则“a＞b”是“a²＞b²”的（）条件．

A、充分而不必要 B、必要而不充分 C、既不充分也不必要 D、充要

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3. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ，则此椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 下列选项叙述错误的是（）

A、命题“若x≠1，则x²﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x²﹣3x+2=0，则x=1” B、若命题p：∀x∈R，x²+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x²+x+1=0 C、若p∨q为真命题，则p，q均为真命题 D、若命题q：∀x∈R，x²+mx+1＞0为真命题，则m的取值范围为﹣2＜m＜2

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5. 某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A、14 B、16 C、20 D、48

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6. 已知 $\vec{a}$ =（2，﹣1，3）， $\vec{b}$ =（﹣1，4，﹣2）， $\vec{c}$ =（7，5，λ），若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 三向量共面，则实数λ等于（）

A、 $\frac{62}{7}$ B、 $\frac{63}{7}$ C、 $\frac{64}{7}$ D、 $\frac{65}{7}$

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7. 有人发现，多玩手机使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多玩手机
68
42
110
少玩手机
20
38
58
总计
88
80
168
P（K²＞k）
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.83
通过计算求得K²≈11.38，则认为多玩手机与人变冷漠有关系的把握大约为（）

A、99.9% B、97.5% C、95% D、90%

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8. 设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x²g（x）的部分图象可以为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）

A、x²=4y B、x²=﹣4y C、y²=﹣12x D、x²=﹣12y

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10. 用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1，左边需增添的代数式是（）

A、2k+2 B、2k+3 C、2k+1 D、（2k+2）+（2k+3）

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11. 若点P是曲线y=x²﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 在平面直角坐标系中，记抛物线y=x﹣x²与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为N，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域N内的概率为 $\frac{8}{27}$ ，则k的值为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）= ．

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14. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{8} 的展开式中 x^{4}$ 的系数是．

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15. 函数y=x﹣lnx的单调递减区间是．

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16. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．

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三、解答题

17. 已知抛物线的方程为y²=4x，直线L过定点P（﹣2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线：

(1)、只有一个公共点；

(2)、有两个公共点；

(3)、没有公共点．

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18. 已知函数f（x）=（1﹣x）e^x﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．

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19. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，E，F，E₁分别是棱AA₁ ， BB₁ ， A₁B₁的中点．

(1)、求证：CE∥平面C₁E₁F；

(2)、求证：平面C₁E₁F⊥平面CEF．

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20. 为迎接今年6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如右图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，

(1)、写出这组数据的众数和中位数；

(2)、求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；

(3)、以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．

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21. 已知椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂ ，求|S₁﹣S₂|的最大值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直l线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 6 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．

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23. 设f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，时，解不等式 f（x）≤5；
（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．

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	冷漠	不冷漠	总计
多玩手机	68	42	110
少玩手机	20	38	58
总计	88	80	168

P（K²＞k）	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	3.841	5.024	6.635	7.879	10.83