河南省南阳市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知：z（1+2i）=3﹣i，则 $\bar{z}$ =（）

A、 $1 + \frac{7}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$ C、 $\frac{1}{3} - \frac{7}{3} i$ D、 $\frac{5}{3} - \frac{7}{3} i$

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2. 设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若 $P (ξ \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则Eη=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{19}{27}$

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3. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）

A、1193 B、1359 C、2718 D、3413

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4. x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为 $\hat{y} = 3.5 x - 1.3$ ，则m=（）
x
1
2
3
4
5
y
2
7
8
12
m

A、15 B、16 C、16.2 D、17

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5. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt{2 \frac{2}{3}}$ ，3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ = $\sqrt{3 \frac{3}{8}}$ ，4 $\sqrt{\frac{4}{15}}$ = $\sqrt{4 \frac{4}{15}}$ ，5 $\sqrt{\frac{5}{24}}$ = $\sqrt{5 \frac{5}{24}}$
则按照以上规律，若8 $\sqrt{\frac{8}{n}}$ = $\sqrt{8 \frac{8}{n}}$ 具有“穿墙术”，则n=（）

A、7 B、35 C、48 D、63

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6. 从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{3}{17}$

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7. 函数f（x）= $\frac{2}{a}$ x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 - a}{2} x^{2} - a x - a$ ，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、（0，3） B、（3，+∞） C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$

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9. 已知： $x {(x - 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ ，则a₆=（）

A、﹣28 B、﹣448 C、112 D、448

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10. 已知数列{a_n}各项的绝对值均为1，S_n为其前n项和．若S₇=3，则该数列{a_n}的前七项的可能性有（）种．

A、10 B、20 C、21 D、42

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11. 若f（x）= ${\begin{matrix} f (x - 5) ， x > 0 \\ 2^{x} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} c o s 3 t d t ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则f（2017）=（）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{5}{24}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e¹^﹣^x的解集是（）（注：e为自然对数的底数）

A、（1，+∞） B、（﹣∞，0）∪（0，1） C、（0，1） D、（﹣∞，1）

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二、填空题

13. 在二项式（ $\sqrt{x}$ + $\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}$ ）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为．

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14. 若函数f（x）=e^x+ax² 无极值点，则a的取值范围是．

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15. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则 $\frac{A G}{G D} = 2$ ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则 $\frac{A O}{O M}$ = ．

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16. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且 $f (x) = - x^{3} + 3 f' (2) x + \int_{0}^{2} f (x) d x$ ，则 $\int_{0}^{2} f (x) d x$ = ．

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三、解答题：

17. 已知：二项式 ${(1 + \sqrt{2} x)}^{n}$ 展开式中所有项的二项式系数和为64，

(1)、求n的值；

(2)、若展开式所有项的系数和为 $a + b \sqrt{2}$ ，其中a，b为有理数，求a和b的值．

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18. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50

(1)、用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？

(2)、在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．

(3)、为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出K² ，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
下面的临界值表供参考：
p（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. （1）已知：x∈（0+∞），求证： $l n (\frac{1}{x} + 1) > \frac{1}{x + 1}$ ；

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20. 学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求张同学前两发只命中一发的概率；

(2)、求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．

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21. 某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是 $\frac{15}{28}$ ．

(1)、该小组中男女学生各多少人？

(2)、9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）

(3)、9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）

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22. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 2 a) + \frac{l n x}{x}$ （a∈R）．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．

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	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

p（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828