浙江省湖州市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x²﹣x=0}，则A∪B=（）

A、{1} B、{0，1} C、{1，2，3} D、{0，1，2，3}

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2. 点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x²+y²=1逆时针方向运动 $\frac{2 π}{3}$ 弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）

A、（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） B、（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） C、（﹣ $\frac{1}{2}$ ，﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） D、（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）

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3. 已知a是实数，若 $\frac{a - i}{1 + i}$ 是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）

A、1 B、﹣1 C、 $\sqrt{2}$ D、﹣ $\sqrt{2}$

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4. 为了得到函数y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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5. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，其夹角为θ，若| $\vec{a} - \vec{b}$ |＞1，则θ的取值范围是（）

A、 $\frac{π}{6}$ ＜θ $\leq \frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ ＜θ $\leq \frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ ＜θ≤π D、 $\frac{π}{6}$ ＜θ≤π

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6. 若集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）

A、12 B、24 C、64 D、81

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7. 若（x+ $\frac{a}{x}$ ）（2x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（）

A、﹣40 B、﹣20 C、40 D、20

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8. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若α，β∈[﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则必有（）

A、α²＜β² B、α²＞β² C、α＜β D、α＞β

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10. 已知函数y=x²的图象在点（x₀ ， x₀²）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x∈（0，1））的图象相切，则满足（）

A、x₀∈（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ） B、x₀∈（1， $\sqrt{2}$ ） C、x₀∈（0， $\frac{1}{2}$ ） D、x₀∈（ $\frac{1}{2}$ ，1）

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二、填空题

11. 已知α∈（0， $\frac{π}{2}$ ），tanα= $\frac{4}{3}$ ，则sinα= ， tan2α= ．

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12. 已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x﹣1，则f（0）= ， f（ $\frac{5}{2}$ ）= ．

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13. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为120°，则 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ = ， | $\vec{e_{1}}$ ﹣ $λ \vec{e_{2}}$ |（λ∈R）的最小值为．

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14. 由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有个（用数字作答）．

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15. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =0，若向量 $\vec{c}$ 满足| $\vec{c}$ ﹣（ $\vec{a} + \vec{b}$ ）|=| $\vec{a} - \vec{b}$ |，则| $\vec{c}$ |的最大值是．

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16. 定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ $\frac{1}{2}$ ，则不等式f（log₂x）＞ $\frac{l o g_{2} x + 1}{2}$ 的解集为．

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17. 函数f（x）=x²+b•x+c•3^x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为．

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三、解答题

18. 已知函数f（x）=cos（2x $- \frac{π}{3}$ ）﹣2sin（x $+ \frac{π}{4}$ ）cos（x $+ \frac{π}{4}$ ）

(1)、求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上的值域．

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19. 袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”
（Ⅰ）若每次取后不放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）若每次取后放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）．

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20. 已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．

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21. 已知数列{a_n}前n项的和为S_n ，满足a₁=0，a_n≥0，3a_n₊₁²=a_n²+a_n+1（n∈N*）
（Ⅰ）用数学归纳法证明：1 $- \frac{1}{n}$ ≤a_n＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：a_n＜a_n₊₁（n∈N*）

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调区间和极值；

(2)、若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；

(3)、若x₁≠x₂ ，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

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