四川省眉山市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设i为虚数单位，则复数 $\frac{3 + 2 i}{i}$ 的虚部是（）

A、3i B、﹣3i C、3 D、﹣3

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2. 从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是 $\frac{2}{7}$ ，则男运动员应抽取（）

A、18人 B、16人 C、14人 D、12人

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4. 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 直线y=3x与曲线y=x²围成图形的面积为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、9 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{27}{4}$

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6. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为 $\frac{3}{5}$ 和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 $\frac{9}{20}$ ．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知函数f（x）= $\frac{1}{x - l n x - 1}$ ，则y=f（x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $X ～ B (8 ， \frac{1}{2})$ ，当P（X=k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时，k的值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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9. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）

A、24 B、36 C、48 D、60

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11. 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（）

A、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B、（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C、（﹣1，0）∪（0，1） D、（﹣1，0）∪（1，+∞）

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12. 若函数f（x）=x³+a|x²﹣1|，a∈R，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、5个

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二、填空题

13. 观察下列各式：
C $_{1}^{0}$ =4⁰；
C $_{3}^{0}$ +C $_{3}^{1}$ =4¹；
C $_{5}^{0}$ +C $_{5}^{1}$ +C $_{5}^{2}$ =4²；
C $_{7}^{0}$ +C $_{7}^{1}$ +C $_{7}^{2}$ +C $_{7}^{3}$ =4³；
…
照此规律，当n∈N^*时，
C $_{2 n - 1}^{0}$ +C $_{2 n - 1}^{1}$ +C $_{2 n - 1}^{2}$ +…+C $_{2 n - 1}^{n - 1}$ = ．

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14. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，1）内的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．

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15. 已知a= $\int_{0}^{π}$ （sinx+cosx）dx，在（1+x）（a+x）⁵的展开式中，x³的系数为（用数字作答）．

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16. 若不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数m的最小值为．

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三、解答题

17. 为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．
分组
频数
频率
[50，60）
5
0.05
[60，70）
a
0.20
[70，80）
35
b
[80，90）
25
0.25
[90，100）
15
0.15
合计
100
1.00
（I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；
（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．

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18. 已知（2x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁵
（Ⅰ）求展开式中含 $\frac{1}{x}$ 项的系数
（Ⅱ）设（2x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁵的展开式中前三项的二项式系数之和为M，（1+ax）⁶的展开式中各项系数之和为N，若4M=N，求实数a的值．

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19. 2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期七
车流量x（万辆）
1
2
3
4
5
6
7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）
28
30
35
41
49
56
62
（Ⅰ）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；
（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）
参考公式：回归直线的方程是 $\overset{\land}{y}$ = $\overset{\land}{b}$ x+ $\overset{\land}{a}$ ，其中 $\overset{\land}{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\overset{\land}{b} \bar{x}$ ．

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20. 随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
年龄不低于45岁的人
年龄低于45岁的人
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828

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21. 已知f（x）=e^x﹣ax² ， g（x）是f（x）的导函数．
（I）求g（x）的极值；
（II）证明：对任意实数x∈R，都有f′（x）≥x﹣2ax+1恒成立：
（Ⅲ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．

(1)、当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；

(2)、讨论函数f（x）的单调性；

(3)、当n∈N^* ，且n≥2时证明不等式：ln[（ $\frac{1}{2}$ +1）（ $\frac{1}{3}$ +1）…（ $\frac{1}{n}$ +1）]+ $\frac{1}{2^{3}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ +…+ $\frac{1}{n^{3}}$ ＞ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{n + 1}$ ．

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分组	频数	频率
[50，60）	5	0.05
[60，70）	a	0.20
[70，80）	35	b
[80，90）	25	0.25
[90，100）	15	0.15
合计	100	1.00

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期七
车流量x（万辆）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	5	10	12	7	2	1

	年龄不低于45岁的人	年龄低于45岁的人	合计
赞成
不赞成
合计

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828