江西省新余市2016-2017学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x∈Z||x|＜5}，B={x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）

A、（2，5） B、[2，5） C、{2，3，4} D、{3，4，5}

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2. 命题“∃x₀∈R，x $_{0}^{2} = 1$ ”的否定形式是（）

A、∃x₀∈R，x $_{0}^{2} \neq 1$ B、∃x₀∈R，x $_{0}^{2} > 1$ C、∀x∈R，x²=1 D、∀x∈R，x²≠1

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3. 下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）

A、a＞b﹣1 B、a＞b+1 C、|a|＞|b| D、2^a＞2^b

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4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点M到左焦点F₁的距离是2，N是MF₁的中点，O为坐标原点，则|ON|的值为（）

A、4 B、8 C、3 D、2

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5. 设命题p：∃x₀∈（0，+∞），3 $^{x_{0}}$ +x₀=2016，命题q：∀a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax，（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、（￢p）∧q C、p∧（￢q） D、（￢p）∧（￢q）

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6. 已知点P（x₀ ， y₀）在抛物线W：y²=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x₀的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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7. 若不等式x²﹣kx+k﹣1>0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（）

A、（﹣∞，2） B、（﹣∞，2] C、（2，+∞） D、[2，+∞）

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8. 关于x，y的方程y=mx+n和 $\frac{x^{2}}{m}$ + $\frac{y^{2}}{n}$ =1在同一坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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10. 下列求导运算正确的是（）

A、（x+ $\frac{3}{x}$ ）′=1+ $\frac{3}{x^{2}}$ B、（log₂x）′= $\frac{1}{x l n 2}$ C、（3^x）′=3^xlog₃e D、（x²cosx）′=﹣2xsinx

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）上任意一点P可向圆x²+y²=（ $\frac{b}{2}$ ）²作切线PA，PB，若存在点P使得 $\vec{P A}$ • $\vec{P B}$ =0，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A、[ $\sqrt{3}$ ，+∞） B、（1， $\sqrt{3}$ ] C、[ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ） D、（1， $\sqrt{5}$ ）

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12. 设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e^x ，则使得f（x）＞xe^x+2e^x成立的x的取值范围是（）

A、（0，+∞） B、（1，+∞） C、（0，1） D、（﹣∞，+∞）

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二、填空题

13. 已知集合M={x||x|＜1}，N={a}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是．

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14. 抛物线y²=﹣12x的准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{6}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{2}$ =1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．

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15. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{m}{x}$ （m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m= ．

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16. 给出下列命题：
①定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则f（x）一定不是R上的减函数；
②用反证法证明命题“若实数a，b，满足a²+b²=0，则a，b都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设a，b都不为0”．
③把函数y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y=sin2x．
④“a=0”是“函数f（x）=x³+ax²（x∈R）为奇函数”的充分不必要条件．
其中所有正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 2＜x≤3．

(1)、若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．

(2)、若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知双曲线方程为16x²﹣9y²=144．

(1)、求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；

(2)、若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C的方程．

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19. 已知函数f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=﹣1处取得极值．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左、右焦点为F₁、F₂ ，点P是坐标平面内一点，且|OP|= $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ， $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ = $\frac{3}{4}$ ，其中O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，过点S（0，﹣ $\frac{1}{3}$ ）的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - l n x$ ．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数 $g (x) = \frac{e}{x}$ ，若在[1，e]上至少存在一点x₀ ，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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四、选做题

22. 已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣ $\frac{π}{6}$ ）=3 $\sqrt{3}$ ，射线OT：θ= $\frac{π}{3}$ （ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．

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23. 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）

(1)、求证：f（x）≥2；

(2)、若不等式f（x）≥ $\frac{| 2 b + 1 | - | 1 - b |}{| b |}$ 对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．

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