湖南省湘东五校联考2016-2017学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（　　）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知复数z满足（2﹣i）z=5，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知数列{a_n}为等比数列，且a₃=﹣4，a₇=﹣16，则a₅=（）

A、8 B、﹣8 C、64 D、﹣64

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5. 设a，b∈R，则“ $\frac{a^{2}}{a - b}$ ＜0”是“a＜b”的（）条件．

A、充分而不必要 B、必要而不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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6. 已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log₂x，若a=f（﹣3），b=f（ $\frac{1}{4}$ ），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞a＞b D、a＞c＞b

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7. 若α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则3cos2α=cos（ $\frac{π}{4}$ +α），则sin2α的值为（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、﹣ $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{17}{18}$ D、﹣ $\frac{17}{18}$

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8. 若直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ =1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）的图象，可以将f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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10. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC=2CA=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）

A、3π B、5π C、12π D、20π

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11. 已知F₁ ， F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F₁MF₂为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、（ $\sqrt{2}$ ，+∞） C、（1，2） D、（2，+∞）

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} s i n \frac{π}{2} x - 1 ， x < 0 \\ l o g_{a} x ， x > 0 \end{matrix}$ （a＞0且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ） B、（ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，1） C、（ $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ，1） D、（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ =（1，﹣1）， $\vec{b}$ =（﹣1，2），则（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）• $\vec{a}$ = ．

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14. 已知实数x，y满足线性约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 \geq 0 \\ x + y \leq 6 \\ 2 x - y \leq 6 \end{matrix}$ ，若x﹣2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．

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15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin²B=2sinAsinC则cosB=

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16. 已知F是抛物线x²=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则 $\frac{| P F |}{| P A |}$ 的最小值等于．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项的和为S_n ，且S_n+ $\frac{1}{2}$ a_n=1（n∈N^*）

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=﹣log₃（1﹣S_n），设C_n= $\frac{4 b_{n + 1}}{b_{n}^{2} \cdot b^{2}_{n + 2}}$ ，求数列{C_n}的前n项的和T_n ．

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18. 随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．
（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（k²＞k₀）
0.4
0.25
0.15
0.10
k₀
0.708
1.323
2.072
2.706

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点F₁ ， F₂是椭圆E的左、右焦点，过F₁的直线与椭圆E交于A，B两点，且△F₂AB的周长为8．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2 $\sqrt{3}$ 上，若OM⊥ON，探究原点O到直线MN的距离是否为定值，并说明理由．

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21. 已知f（x）=lnx﹣ax+1，其中a为常实数．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、当a=1时，求证：f（x）≤0；

(3)、当n≥2，且n∈N*时，求证： $\frac{l n 2}{2} + \frac{l n 3}{2^{2}} + \frac{l n 4}{2^{3}} + \dots + \frac{l n n}{2^{n - 1}}$ ＜2．

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四、解答题

22. 在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = 2 + 2 s i n θ \end{matrix} (θ 为参数)$ ．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．

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五、解答题

23. 已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|

(1)、当a=3时，求不等式f（x）≥7的解集；

(2)、若f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

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P（k²＞k₀）	0.4	0.25	0.15	0.10
k₀	0.708	1.323	2.072	2.706