湖北省天门、仙桃、潜江三市联考2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|x²+x＞0}，集合B= ${y | y = \frac{2}{2^{x} + 1} ， x \in R}$ ，则（∁_UA）∪B=（）

A、[0，2） B、[﹣1，0] C、[﹣1，2） D、（﹣∞，2）

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2. 已知命题p：∀x∈R，2^x＜3^x；命题q：∃x∈R，x³=1﹣x² ，则下列命题中为真命题的是（）

A、p∧q B、￢p∧q C、p∧￢q D、￢p∧￢q

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3. 设随机变量x服从正态分布N（2，9），若P（x＞m﹣1）=P（x＜2m+1），则m=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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4. 设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{2 π}$ B、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{π}$ C、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{π}$ D、 $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{2 π}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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6. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线与圆x²+（y﹣2）²=1至多有一个交点，则双曲线的离心率为（）

A、 $(1 ， \sqrt{2}]$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、（1，2] D、（1，4]

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7. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 7 \leq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ 2 x - y - 5 \geq 0 \end{matrix}$ 则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 若抛物线y²=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（）

A、y²=4x B、y²=36x C、y²=4x或y²=36x D、y²=8x或y²=32x

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9. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）

A、144个 B、120个 C、96个 D、72个

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10. 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示．若输入m=98，n=63，则输出的m=（）

A、7 B、28 C、17 D、35

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11. 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁ ， x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足 $f' (x_{1}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ， $f' (x_{2}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³﹣x²+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ B、（ $\frac{3}{2} ， 3$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ，1） D、（ $\frac{1}{3}$ ，1）

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二、填空题

13. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x² ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

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14. 2x+ $\sqrt{x}$ ）⁵的展开式中，x³的系数是．（用数字填写答案）

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15. 设圆x²+y²=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为．

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16. 设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣4.3]=﹣5．给出下列命题：
①对任意实数x，都有[x]﹣x≤0；
②若x₁≤x₂ ，则[x₁]≤[x₂]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函数f（x）= $\frac{2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ ，则y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{﹣1，0}．
其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ }的前n项和，若T_n≤λa_n₊₁对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

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18. 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．

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19. 如图1所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图2的四棱锥．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣D大小．

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20. 已知椭圆C₁ ，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2 $\sqrt{3}$ ），（一2，0），（4，一4），（ $\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}$ ）．
（Ⅰ）求C₁ ， C₂的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交与不同的两点M，N且满足 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ ？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0
（Ⅰ）当 $a = - \frac{3}{4} ， c = \frac{1}{4}$ 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象在点P（x₁ ， f（x₁）），Q（x₂ ， f（x₂））两处的切线分别为l₁ ， l₂ ．若 $x_{1} = \sqrt{- \frac{a}{2}} ， x_{2} = c$ ，且l₁⊥l₂ ，求实数c的最小值．

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22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线 $C_{1} ： {\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} t \\ y = - \sqrt{2} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）将曲线C₁ ， C₂分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；
（Ⅱ）设F（1，0），曲线C₁与曲线C₂相交于不同的两点A，B，求|AF|+|BF|的值．

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23. 已知f（x）=2|x+1|﹣x的最小值为b．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）已知a≥b，求证： $\sqrt{2 a - b} + \sqrt{a^{2} - b} \geq a$ ．

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出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	5	10	30	35	15	3	2

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	14	20	20	16	15	10	5