河北省保定市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合Q={x|2x²﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知复数1+2i，a+bi（a、b∈R，i是虚数单位）满足（1+2i）（a+bi）=5+5i，则|a+bi|=（）

A、3 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. “2^a＞2^b＞1“是“ $\sqrt[3]{a}$ ＞ $\sqrt[3]{b}$ “的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设a=log $_{\frac{1}{2}}$ 3，b=（ $\frac{1}{3}$ ）^0.2 ， c=2 $^{\frac{1}{3}}$ ，则a、b、c的大小顺序为（）

A、b＜a＜c B、c＜b＜a C、c＜a＜b D、a＜b＜c

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5. 用数学归纳法证明：1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ ++ $\frac{1}{2^{n} - 1}$ ＜n（n∈N^* ， n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）

A、2^k^﹣¹ B、2^k C、2^k﹣1 D、2^k+1

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6. 函数f（x）=1+log₂x与g（x）=2^﹣^x⁺¹在同一直角坐标系下的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数f（x）=x²+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（）

A、a≤﹣3 B、a≥﹣3 C、a≤5 D、a≥5

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8. 函数y=ln（﹣x²﹣2x+8）的单调递减区间是（　　）

A、（﹣∞，﹣1） B、（﹣1，2） C、（﹣4，﹣1） D、（﹣1，+∞）

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9. 已知函数f（x）=x+ $\frac{4}{x}$ ， g（x）=2^x+a，若∀ $x_{1}$ ∈[ $\frac{1}{2}$ ， 3]，∃ $x_{2}$ ∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

A、a≤1 B、a≥1 C、a≤0 D、a≥0

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10. 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时， $f' (x) + \frac{f (x)}{x}$ ＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln $\frac{1}{2}$ ）f（ln $\frac{1}{2}$ ），则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、a＜c＜b B、b＜c＜a C、a＜b＜c D、c＜a＜b

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11. 定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）= $\frac{4}{f (x)}$ （f（x）≠0），且在区间（1，2）上单调递减，已知α、β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）

A、f（sinα）＞f（cosβ） B、f（sinα）＜f（cosβ） C、f（sinα）=f（cosβ） D、以上情况均有可能

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 \\ \frac{3}{x - 1} ， x \geq 2 \end{matrix}$ 若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. $\int_{- 1}^{1}$ （ $\sqrt{1 - x^{2}}$ +xcosx）dx= ．

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14. 已知奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2^x ，则f（log₂10）等于．

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15. 函数f（x）=e^x（x﹣ae^x）恰有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则a的取值范围是．

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16. 定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）= $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x²﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁： ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，曲线C₃：ρ=2 $\sqrt{3}$ cosθ．
（Ⅰ）求C₂与C₃交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

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18. 已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．

(1)、当t=1时，解不等式f（x）≤1；

(2)、若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时， $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$ ≤m．

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19. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．

(1)、证明：SD⊥平面SAB

(2)、求AB与平面SBC所成角的正弦值．

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