贵州省遵义市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知命题p：∃x₀∈R，x $_{0}^{2}$ +1＞0，则￢p为（）

A、∃x∈R，x²+1≤0 B、∃x∈R，x²+1＜0 C、∀x∈R，x²+1＜0 D、∀x∈R，x²+1≤0

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2. 椭圆2x²+y²=6的焦点坐标是（）

A、（± $\sqrt{3}$ ，0） B、（0，± $\sqrt{3}$ ） C、（±3，0） D、（0，±3）

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3. 若复数z满足（1﹣2i）z=5i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知随机变量x服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6828，则P（x＞4）=（）

A、0.1585 B、0.1586 C、0.1587 D、0.1588

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5. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：
喜欢数学
不喜欢数学
总计
男
40
80
120
女
40
140
180
总计
80
220
300
并计算：K²≈4.545
P（K²≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（）

A、有95%以上把握认为“性别与喜欢数学课有关” B、有95%以上把握认为“性别与喜欢数学课无关” C、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“性别与喜欢数学课有关” D、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“性别与喜欢数学课无关”

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6. “m=1”是“直线l₁：x+（1+m）y=2﹣m与l₂：2mx+4y=﹣16平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如圆是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5⁰=0.1305）

A、12 B、24 C、48 D、96

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8. 若曲线y= $\frac{x + 1}{x - 1}$ 在点A（3，f（3））处的切线与直线x+my+2=0垂直，则实数m的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、8

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10. 某中学有8名同学参加两项社团活动，每位同学必须参加一项活动，且不能同时参加两项，每项活动最多安排5人，则不同的安排方法有（）

A、256 B、182 C、254 D、238

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11. 一个圆的圆心在抛物线y²=4x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，圆心到直线ax+y﹣ $\sqrt{2}$ =0的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则a=（）

A、1 B、﹣1 C、±1 D、 $\frac{3}{2}$

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12. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（）

A、（0，+∞） B、（1，+∞） C、（4，+∞） D、（﹣2，+∞）

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二、填空题

13. 已知函数f（x）=13﹣8x+ $\sqrt{2}$ x² ，且f′（a）=4，则实数a的值．

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14. 在二项式（1+ $\frac{x}{2}$ ）⁸的展开式中，x³的系数为m，则 $\int_{0}^{1}$ （mx+ $\sqrt{1 - x^{2}}$ ）dx= ．

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15. 三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2 $\sqrt{2}$ ，PC=2 $\sqrt{3}$ ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，点P（x₀ ， $\frac{5}{2}$ ）为双曲线上一点，若△PF₁F₂的内切圆半径为1，且圆心G到原点O的距离为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线的离心率是．

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三、解答题

17. 新学年伊始，某中学学生社团开始招新，某高一新生对“海济公益社”、“理科学社”、“高音低调乐社”很感兴趣，假设她能被这三个社团接受的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求此新生被两个社团接受的概率；

(2)、设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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18. 设命题p：直线mx﹣y+1=0与圆（x﹣2）²+y²=4有公共点；设命题q：实数m满足方程 $\frac{x^{2}}{m - 1}$ + $\frac{y^{2}}{2 - m}$ =1表示双曲线．

(1)、若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

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19. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，点E是PD的中点．

(1)、求证：AC⊥PB；

(2)、当二面角E﹣AC﹣D的大小为45°时，求AP的长．

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20. 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费x_i和年利润y_i（i=1，2，3，4，5）进行了统计，列出了下表：
x（单位：千元）
2
4
7
17
30
y（单位：万元）
1
2
3
4
5
员工小王和小李分别提供了不同的方案．

(1)、小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程： $\hat{y}$ =1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R²=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据 $\sum_{i = 1}^{5}$ （y_i﹣ $\hat{y}$ _i）²=1.15）
参考公式：相关指数R²=1﹣ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$
回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\hat{y}$ ﹣ $\hat{b}$ x，参考数据：ln40=3.688， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ =538．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{7 - a^{2}}$ =1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

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22. 已知函数f（x）=ax﹣lnx；g（x）= $\frac{l n x}{x}$ ．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、求证：若a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；

(3)、若h（x）=x²[1+g（x）]，当a＞1时，对于∀x₁∈[1，e]，∃x₀∈[1，e]，使f（x₁）=h（x₀），求a的取值范围．

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	喜欢数学	不喜欢数学	总计
男	40	80	120
女	40	140	180
总计	80	220	300

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

x（单位：千元）	2	4	7	17	30
y（单位：万元）	1	2	3	4	5