广东省中山市2016-2017学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、（﹣1，0） B、（1，0） C、（0，﹣1） D、（0，1）

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2. 若复数z满足z﹣2i=﹣i•z，则z=（）

A、﹣1+i B、1﹣i C、1+i D、﹣1﹣i

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3. 命题“∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ ”的否定为（）

A、∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ B、∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 > 0$ C、∀x∈R，x²﹣x+1≤0 D、∀x∈R，x²﹣x+1＞0

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4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如表：
使用智能手机
不使用智能手机
总计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
总计
20
10
30
附表：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算K²的观测值为10，则下列选项正确的是（）

A、有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B、有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响 D、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响

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5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）

A、假设a、b、c都是偶数 B、假设a、b、c都不是偶数 C、假设a、b、c至多有一个偶数 D、假设a、b、c至多有两个偶数

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6. 函数f（x）=x²﹣lnx的单调递减区间是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ， $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）

A、k≤3？ B、k＜3？ C、k≤4？ D、k＞4？

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8. 已知F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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9. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5

A、产品的生产能耗与产量呈正相关 B、t的取值必定是3.15 C、回归直线一定过点（4，5，3，5） D、A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

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10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设F₁ ， F₂分别为双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径圆上，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式： $a_{n} = {\begin{matrix} \frac{n^{2} - 1}{2} ，_{} n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2} ，_{} n 为偶数 \end{matrix}$ ，如果把这个数列{a_n}排成如图形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为（）

A、1200 B、1280 C、3528 D、3612

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二、填空题

13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t²+t，则t=2时的瞬时速度为．

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14. 已知x=3是函数y=alnx+x²﹣10x的一个极值点，则实数a= ．

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15. 双曲线 $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{36} = 1$ 上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于．

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16. 已知函数f（x）=2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．

(1)、求复数z

(2)、若w= $\frac{z}{2 + i}$ ，求复数w的模|w|．

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18. 已知a＞0，设p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，q：实数x满足（x﹣3）²＜1．

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①

y = C_{1} x^{2} + C_{2}

与模型；②

y = e^{C_{3} x + C_{4}}

作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．

温度x/℃	20	22	24	26	28	30	32
产卵数y/个	6	10	21	24	64	113	322
t=x²	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\bar{x}$	$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
26	692	80	3.57
$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (z_{i} - \bar{z}) (t_{i} - \bar{t})}{\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中 $t_{i} = x_{i}^{2}$ ， $\bar{t} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} t_{i}$ ，z_i=lny_i ， $\bar{z} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} z_{i}$ ，

附：对于一组数据（μ₁ ， ν₁），（μ₂ ， ν₂），（μ_n ， ν_n），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (μ_{i} - \bar{μ}) (ν_{i} - \bar{ν})}{\sum_{i = 1}^{n} {(μ_{i} - \bar{μ})}^{2}}$ ， $α = \bar{ν} - β \bar{μ}$

(1)、根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C₁ ， C₂ ， C₃ ， C₄与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）

(2)、若模型①、②的相关指数计算分别为

R_{1}^{2} = 0.82 ， R_{2}^{2} = 0.96

．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足 $\frac{1}{| O F |} + \frac{1}{| O A |} = \frac{3 e}{| A F |}$ ，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．

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21. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{k}{x} ， k \in R$ ．

(1)、若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调区间（其中e为自然对数的底数）；

(2)、若对任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）﹣f（x₂）＜x₁﹣x₂恒成立，求k的取值范围．

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22. 对于命题P：存在一个常数M，使得不等式 $\frac{a}{2 a + b} + \frac{b}{2 b + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 2 b} + \frac{b}{b + 2 a}$ 对任意正数a，b恒成立．

(1)、试给出这个常数M的值；

(2)、在（1）所得结论的条件下证明命题P；

(3)、对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式 $\frac{a}{3 a + b} + \frac{b}{3 b + c} + \frac{c}{3 c + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 3 b} + \frac{b}{b + 3 c} + \frac{c}{c + 3 a}$ 对任意正数a，b，c恒成立．”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题．

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	使用智能手机	不使用智能手机	总计
学习成绩优秀	4	8	12
学习成绩不优秀	16	2	18
总计	20	10	30

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5