上海市奉贤金山青浦松江四校2018-2019学年高一5月月考数学试题

试卷更新日期：2020-03-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在△ $A B C$ 中， $B C = a$ ， $C A = b$ ， $A B = c$ ，下列说法中正确的是（）

A、用 $\sqrt{a}$ 、 $\sqrt{b}$ 、 $\sqrt{c}$ 为边长不可以作成一个三角形 B、用 $\sqrt{a}$ 、 $\sqrt{b}$ 、 $\sqrt{c}$ 为边长一定可以作成一个锐角三角形 C、用 $\sqrt{a}$ 、 $\sqrt{b}$ 、 $\sqrt{c}$ 为边长一定可以作成一个直角三角形 D、用 $\sqrt{a}$ 、 $\sqrt{b}$ 、 $\sqrt{c}$ 为边长一定可以作成一个钝角三角形

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2. 在 $Δ A B C$ 中，如果 $\sin A \sin B + \sin A \cos B + \cos A \sin B + \cos A \cos B = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）．

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰或直角三角形 D、等腰直角三角形

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{5} < S_{6}$ 且 $S_{6} = S_{7} > S_{8}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{6}$ 和 $S_{7}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值 B、 $a_{7} = 0$ C、公差 $d < 0$ D、 $S_{9} > S_{5}$

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4. 函数 $y = 2 \sin x$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域为 $[- 2, 1]$ ，则 $b - a$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $π$

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二、填空题

5. 角 $- 215^{°}$ 属于第象限角.

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6. 在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为米．

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 3$ 则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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8. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) ， φ \in (0 ， π)$ 是偶函数，则 $φ$ 等于

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9. 方程 $2 \sin^{2} x + 5 \sin x + 2 = 0$ 在R上的解集为.

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10. 已知 $\cos α = \frac{4}{5}$ ，则 $\frac{\cos (α - \frac{π}{2}) + 2 \sin (π - α)}{2 \tan (π + α) + \cot (\frac{π}{2} + α)} =$

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11. 若函数 $y = 2 \arcsin (\cos x)$ 的定义域为 $[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ ，则它的值域为.

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12. 已知函数 $y = 2 \sin ω x$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则正实数 $ω$ 的取值范围是.

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13. 将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应表达式为 $y = 2 \sin^{2} x$ ，则函数 $y = f (x)$ 的表达式可以是.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cos \frac{n π}{2} + 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2019} =$ .

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15. 函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{5}{4} \sin (\frac{π}{2} x) 0 \leq x \leq 1 \\ {(\frac{1}{4})}^{x} + 1 x > 1 \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a \cdot f (x) + b = 0 (a ， b \in R)$ 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是.

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16. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} - 8 n$ ，求

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{2} {+a}_{5} {+a}_{8} + \dots a_{17}$ 的值.

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18. 已知△ $A B C$ 中， $tan A = \frac{1}{4}$ ， $tan B = \frac{3}{5}$ ， $A B = \sqrt{17}$ . 求：

(1)、角 $C$ 的大小；

(2)、△ABC中最小边的边长.

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A$ ＞0， $ω$ ＞0， $| φ |$ ＜ $\frac{π}{2})$ 的图象与 $y$
轴的交点为（0，1），它在 $y$ 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 $(x_{0} ， 2)$ 和 $(x_{0} + 2 π ， - 2) .$

(1)、写出 $f (x)$ 的解析式及 $x_{0}$ 的值；

(2)、若锐角 $θ$ 满足 $\cos θ = \frac{1}{3}$ ，求 $f (4 θ)$ 的值.

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20. 某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中 $AP=AB=BQ$ ， $∠ P A B = ∠ Q B A = \frac{2 π}{3}$ ，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求 $P O \leq 60$ ）.设 $∠ O A B = α$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ .

(1)、当 $α = \frac{π}{6}$ 时求舞台表演区域的面积；

(2)、对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

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21. 已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．

(1)、设f（x）=cosx+sinx， $α = \frac{π}{2}$ ，求g（x）的解析式；

(2)、设计一个函数f（x）及一个α的值，使得 $g (x) = 2 c o s x (c o s x + \sqrt{3} s i n x)$ ；

(3)、当f（x）=|sinx|+cosx， $α = \frac{π}{2}$ 时，存在x₁ ， x₂∈R，对任意x∈R，
g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

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