湖南省永州市新田县2018-2019学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-03-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = - 1 \\ x - y = 3 \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 $\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x=2 \\ y = - 1 \end{array} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 5 \end{array}$

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2. 下列计算错误的是（）

A、 $10^{5} \times 10^{5} = 10^{10}$ B、 $(2 m - n) (2 m + n) = 2 m^{2} - n^{2}$ C、 $2 a^{3} \cdot 3 a^{2} b = 6 a^{5} b$ D、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

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3. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程x+ay=7的一个解，则 $a$ 的值是（）

A、3 B、1 C、－3 D、－1

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4. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ z + y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ \frac{1}{x} + y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ x y = 2 \end{array}$

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5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（）
$\begin{array}{l} ① 25 x^{2} - 4 y^{2} = (5 x + 2 y) (5 x - 2 y) \\ ② 8 x^{2} y^{4} - 12 x y^{2} z = 4 x y^{2} (2 x y^{2} - 3 z) \end{array}$

$\begin{array}{l} ③ {(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2} = 4 x y \\ ④ x^{3} y^{2} - x^{5} = x^{3} (y + x) (y - x) \end{array}$

$⑤ - {(2 x - 3 y)}^{2} = - 4 x^{2} + 12 x y - 9 y^{2}$ ．

A、①②③⑤ B、②③④⑤ C、①②③④ D、①②③④⑤

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6. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确是（　　）

A、大和尚25人，小和尚75人 B、大和尚75人，小和尚25人 C、大和尚50人，小和尚50人 D、大、小和尚各100人

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7. 若 $x^{2} - 2 (m - 1) x + 9$ 是完全平方式，则m的值为（）

A、4 B、－2 C、－4或2 D、4或－2

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8. 由下图得到的等式中正确有（）

① $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c = {(a + b + c)}^{2}$ ；

② $a^{2} + b^{2} + 2 a b = {(a + b)}^{2}$ ；

③ $a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2}$ ；

④ $b^{2} + c^{2} + 2 b c = {(b + c)}^{2}$ ；

⑤ $b^{2} + c^{2} + a b + b c + a c = (a + b + c) (b + c)$ ．

⑥ ${(a + b + c)}^{2} - {(b + c)}^{2} = a^{2} + 2 a b + 2 a c$

⑦ $\frac{1}{2} (a + b + c) (a + b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + a c$

A、①②③④⑤ B、①②③⑥⑦ C、①②④⑥ D、①②③④⑦

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9. 若 $A = - \frac{2}{3} (1 + \frac{1}{3^{1}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{4}}) (1 + \frac{1}{3^{8}}) (1 + \frac{1}{3^{16}}) (1 + \frac{1}{3^{32}}) (1 + \frac{1}{3^{64}})$ …… $(1 + \frac{1}{3^{2^{n}}}) + 1$ ，则A的值是（）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{3^{2^{2 n}}}$ D、 $\frac{1}{3^{2^{n + 1}}}$

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二、填空题

10. ${(- 2 x)}^{3} =$ ； $- x · （ - x ）^{2}$ =.

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11. 因式分解 $4 x^{2} + 10 x =$ ．

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12. 一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加16cm²,这个正方形原来的边长是.

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13. 从A城到B城的航线长1200 km，一架飞机从A城飞往B城，需要2 h，从B城飞往A城，需要2.5 h，假设飞机保持匀速，风速的大小和方向不变，设飞机的速度为 $x$ 千米/小时，风速为 $y$ 千米/小时，则可列方程组为：.

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14. 已知a，b，m，n满足am ＋ bn = 9，an － bm = 3 ，则（a²＋b²）（m²＋n²）的值为.

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三、解答题

15. 在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ${(a - b)}^{2} = 49$ ， $a b = 18$ ，求代数式 $a^{2} + b^{2}$ 的值．可以这样思考：
因为 ${(a - b)}^{2} = 49$ ， $a b = 18$

所以 $a^{2} + b^{2} - 2 a b = 49$

即 $a^{2} + b^{2} - 2 \times 18 = 49$

所以 $a^{2} + b^{2} = 49 + 2 \times 18 = 85$

举一反三：

(1)、已知 ${(a - b)}^{2} = 12$ ， ${(a + b)}^{2} = 28$ ，求 $a b$ 的值．

(2)、已知 $a + \frac{1}{a} = 4$ ，则 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$ 的值．

(3)、已知 $x^{2} + x = 1$ ，求 $x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 2019$ 的值．

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16. 提出问题：你能把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 $a$ ， $b$ 为常数，由面积相等可得：

$(x + a) (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左使用，就可以对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行进行因式分解即 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和.

解决问题： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 3) (x + 2)$

运用结论：

(1)、基础运用：把多项式 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解.

(2)、知识迁移：对于多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：
将二次项 $4 x^{2}$ 分解成图2中的两个 $- 4 x$ 的积，再将常数项-15分解成-5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 $- 4 x$ ，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以有 $4 x^{2} - 4 x - 15 = (2 x - 5) (2 x + 3)$ .这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”.请用十字相乘法进行因式分解： $3 x^{2} - 19 x - 14$

(3)、综合运用：灵活运用知识进行因式分解： $x^{3} - 7 x + 6$

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