高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷

试卷更新日期：2020-03-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 1}$ ，集合 $B = {x | \log_{2} x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, \sqrt{3})$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\log_{4} f (2)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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4. 由 $y = 2 \sin (6 x - \frac{1}{6} π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (3 x - \frac{1}{6} π)$ B、 $y = 2 \sin (3 x + \frac{1}{6} π)$ C、 $y = 2 \sin (3 x - \frac{1}{12} π)$ D、 $y = 2 \sin (12 x - \frac{1}{6} π)$

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5. 若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} + 2 α) =$ （）．

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 & x > 0 \\ - x^{2} - 2 x & x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、(0， $\frac{1}{2}$ ) B、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、（0，1）

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7. 对于函数f（x）=x³cos3（x+ $\frac{π}{6}$ ），下列说法正确的是（）

A、f（x）是奇函数且在（﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{6}$ ）上递增 B、f（x）是奇函数且在（﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{6}$ ）上递减 C、f（x）是偶函数且在（0， $\frac{π}{6}$ ）上递增 D、f（x）是偶函数且在（0， $\frac{π}{6}$ ）上递减

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8. 若函数 $f (x)$ 为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则 $\frac{f (x) + f (- x)}{2 x} < 0$ 的解集为（）

A、(－3,3) B、(－∞，－3)∪(3，＋∞) C、(－3,0)∪(3，＋∞) D、(－∞，－3)∪(0,3)．

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2}, x \leq 0 \\ \lg (x + 1), x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (x_{0}) > 1$ ，则x₀的取值范围为（）

A、（－1，1） B、（－1，+∞） C、 $(- \infty, 9)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (9, + \infty)$

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10. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ，且对任意正实数 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2)}}{x_{1} - x_{2}}$ ﹥0 ，则一定有（）

A、 $f (3) > f (- 5)$ B、 $f (- 3) < f (- 5)$ C、 $f (- 5) > f (3)$ D、 $f (- 3) > f (- 5)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，若 $a = f (\log_{2} \frac{1}{5})$ ， $b = f (\log_{2} 4.1)$ ， $c = f (2^{0.8})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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12. 将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象，若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，且 $f (x)$ 的最大负零点在区间 $(- \frac{5 π}{12} ， - \frac{π}{6})$ 上，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ B、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ D、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{2})$

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二、填空题

13. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a + 1}{b}$ 的最小值为.

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ - 2^{x} - a, x \leq 0 \end{array}$ 有且只有一个零点，则a的取值范围是．

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15. 设 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 b ， 3 + b]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上为增函数，则 $f (x - 1) \geq f (3)$ 的解集为.

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16. 下列命题中：
①已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ ，则函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 3]$ ；

②若集合 $A = {x | x^{2} + k x + 4 = 0}$ 中只有一个元素，则 $k = \pm 4$ ；

③函数 $y = \frac{1}{1 - 2 x}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数；

④方程 $2^{| x |} = \log_{2} (x + 2) + 1$ 的实根的个数是1.

所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.

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三、解答题

17. 若集合A＝{x $\in R$ | $x^{2} - x - 12 \leq 0$ }和B＝{ x $\in R$ |2m－1≤x≤m＋1}．

(1)、当 $m = - 3$ 时，求集合 $A \cup B$ .

(2)、当 $B \cap A = B$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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18.

(1)、计算 $(\lg \frac{1}{4} - \lg 25) \div 100^{\frac{1}{2}}$ 的值；

(2)、已知 $\tan α = 2$ ，求 $\frac{2 \sin α - 3 \cos α}{4 \sin α - 9 \cos α}$ 和 $\sin α \cos α$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = a (\sin 2 x - \frac{π}{6}) - a + b (a ， b \in R ，且 a < 0)$ .

(1)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 5 ， 1]$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 图像的对称中心.

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20. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(0, 3)$ ，且不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - (2 t - 4) x$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上有最小值 $2$ ，求实数 $t$ 的值；

(3)、设 $h (x) = m x^{2} - 4 x + m$ ，若当 $x \in [- 1, 2]$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图象恒在 $y = f (x)$ 图象的上方，求实数m的取值范围.

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21. 已知 $m \in R$ ，命题 $p ：$ 对任意 $x \in [0 ， 8]$ ，不等式 ${log}_{\frac{1}{3}} (x + 1) \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立，命题 $q ：$ 存在 $x \in (0 ， \frac{2 π}{3})$ ，使不等式 $2 {sin}^{2} x + 2 sin x cos x \leq \sqrt{2} m (sin x + cos x)$ 成立．

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 均为定义在 $R$ 上的函数，并满足 $f (x) + g (x) = 2^{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) + x$
①判断 $h (x)$ 的单调性，并用定义证明；

②若 $f (\log_{2} m) + f (2 \log_{2} m - 1) \leq 1 - 3 \log_{2} m$ ，求实数 $m$ 的取值范围

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