浙江省温州市2016-2017学年十五校联合体高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合 A={x|e^x≤1}，B={x|ln x≤0}，则 A∪B=（）

A、（﹣∞，1] B、（0，1] C、[1，e] D、（0，e]

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2. 在复平面内，复数 $\frac{- 2 + 3 i}{3 - 4 i}$ （i是虚数单位）所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知焦点在 x 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 m=（）

A、6 B、 $\sqrt{6}$ C、4 D、2

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）

A、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{9 + \sqrt{3}}{2}$ D、5

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5. 已知（1+ax）⁶=1+12x+bx²+…+a⁶x⁶ ，则实数 b 的值为（）

A、15 B、20 C、40 D、60

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6. 已知直线 l₁：mx+（ m+1）y+2=0，l ₂：（ m+1）x+（ m+4）y﹣3=0，则“m=﹣2”是“l₁⊥l₂”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知{a_n}是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 S_n ．设数列{ $\frac{S_{n}}{n}$ }的前 n 项和为 T_n ，当且仅当 n=6 时，T_n有最大值，则 $\frac{a_{1}}{d}$ 的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣ $\frac{5}{2}$ ） B、（﹣3，+∞） C、（﹣3，﹣ $\frac{5}{2}$ ） D、（﹣3，+∞）∪（﹣ $\frac{5}{2}$ ，+∞）

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8. x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或﹣1 B、2或 $\frac{1}{2}$ C、2或1 D、2或﹣1

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9. 已知函数 f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x= $\frac{π}{4}$ 处取得最小值，则函数g（x）=f（ $\frac{3 π}{4}$ ﹣x）是（）

A、偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B、奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 C、奇函数且它的图象关于点（ $\frac{3 π}{2}$ ，0）对称 D、偶函数且它的图象关于点（ $\frac{3 π}{2}$ ，0）对称

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10. 已知a，b，c∈（0，+∞）且 a≥b≥c，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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二、填空题

11. △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且b²+ac=a²+c² ，则∠B 的大小为．

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12. 过点 M （0，1）且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（ a＞0，b＞0）的两渐近线交于点 A，B，
且 $\bar{B M}$ =2 $\bar{A M}$ ，则直线 l 的方程为；如果双曲线的焦距为 2 $\sqrt{10}$ ，则 b 的值为．

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13. 王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L₁ ， L₂两条路线（如图），L₁路线上有 A₁ ， A₂ ， A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；L₂路线上有 B₁ ， B₂两个路．各路口遇到红灯的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ ．若走 L₁路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为；若走 L₂路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为．

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14. 用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是（用数字作答）．

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15. 已知坐标平面上的凸四边形 ABCD 满足 $\vec{A C}$ =（1， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{B D}$ =（﹣ $\sqrt{3}$ ，1），则凸四边形ABCD的面积为； $\vec{A B}$ • $\vec{C D}$ 的取值范围是．

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16. 函数f（x）= $\frac{x}{x + 1}$ 的对称中心为，如果函数g（x）= $\frac{x^{3} - a x^{2} + 2 a x}{x + 1}$ （ x＞﹣1）的图象经过四个
象限，则实数 a 的取值范围是．

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17. 在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且 $\vec{A N} = λ \vec{A B}$ ，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当 $\frac{1}{3} \leq λ \leq \frac{2}{3}$ 时，则cosα的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知函数 f（x）=2sin²ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的值域．

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19. 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．
（Ⅰ）求证：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．

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20. 已知函数 f（x）=x﹣ln x﹣2．
（Ⅰ）求函数 f （ x）的最小值；
（Ⅱ）如果不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在区间（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

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21. 如图：已知抛物线 C₁：y²=2px （p＞0），直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，且当倾斜角为 60°的直线 l 经过抛物线 C1 的焦点 F 时，有|AB|= $\frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）已知圆 C₂：（x﹣1）²+y²= $\frac{1}{16}$ ，是否存在倾斜角不为 90°的直线 l，使得线段 AB 被圆 C₂ 截成三等分？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

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22. 已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=4，且 2b_n=a_n+a_n₊₁ ， a_n₊₁²=b_nb_n₊₁ ．
（Ⅰ）求 a ₂ ， a₃ ， a₄及b₂ ， b₃ ， b₄；
（Ⅱ）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对所有的 n∈N^* ， $\frac{a_{1}}{b_{1}}$ • $\frac{a_{3}}{b_{3}}$ •…• $\frac{a_{2 n - 1}}{b_{2 n - 1}}$ ＜ $\sqrt{\frac{b_{n} - a_{n}}{b_{n} + a_{n}}}$ ＜ $\sqrt{2}$ sin $\frac{1}{\sqrt{2 \sqrt{b_{n}} - 1}}$ ．

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