浙江省宁波市2016-2017学年九校联考高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x²﹣3x+2＜0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、[﹣1，1）∪（2，3） B、[﹣1，1]∪[2，3] C、（1，2） D、R

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2. i是虚数单位，计算 $\frac{1 + i}{1 - i}$ =（）

A、﹣1 B、1 C、i D、﹣i

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3. 已知曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣2 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）

A、a﹣1＞b B、a+1＞b C、|a|＞|b| D、a³＞b³

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5. （已知函数f（x）= $\frac{1}{x - l n x - 1}$ ，则y=f（x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 从1，2，3，…，9这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）

A、62 B、64 C、65 D、66

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7. 已知1＜a＜b，m=a^b^﹣¹ ， n=b^a^﹣¹ ，则m，n的大小关系为（）

A、m＜n B、m=n C、m＞n D、m，n的大小关系不确定，与a，b的取值有关

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8. 已知下列各式：①f（|x|+1）=x²+1；② $f (\frac{1}{x^{2} + 1}) = x$ ；③f（x²﹣2x）=|x|；④f（|x|）=3^x+3^﹣^x ．其中存在函数f（x）对任意的x∈R都成立的是（）

A、①④ B、③④ C、①② D、①③

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9. 设函数f（x）=log₂x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=2x³ ，当x∈（﹣∞，0]时f'（x）＜3x² ，实数a满足f（1﹣a）﹣f（a）≥﹣2a³+3a²﹣3a+1，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

11. 已知log_a2=m，log_a3=n，则a^2m⁺ⁿ= ，用m，n表示log₄6为．

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12. 已知 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数和为64，则n= ，该展开式中常数项为．

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13. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} - x + 4 ， x \leq 2 \\ a^{x} + 2 a + 1 ， x > 2 \end{matrix}$ ，其中a＞0且a≠1．若a= $\frac{1}{2}$ 时方程f（x）=b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是；若f（x）的值域为[2，+∞），则实数a的取值范围是．

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14. 函数f（x）=x³﹣2x+e^x﹣e^﹣^x的奇偶性为，在R上的增减性为（填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）．

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15. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为．

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16. 已知 $f (x) = | x + \frac{1}{x} - a | + | x - \frac{1}{x} - a | + 2 x - 2 a$ （x＞0）的最小值为 $\frac{3}{2}$ ．则实数a= ．

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17. 已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1]上有零点x₀ ，则 $a b (\frac{x_{0}}{4} + \frac{1}{9 x_{0}} - \frac{1}{3})$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 已知n∈N^* ， S_n=（n+1）（n+2）…（n+n）， $T_{n} = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1)$ ．
（Ⅰ）求 S₁ ， S₂ ， S₃ ， T₁ ， T₂ ， T₃；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

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19. 解答题
（Ⅰ）已知 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，其中a_i∈R，i=1，2，…10．
（i）求a₀+a₁+a₂+…+a₁₀；
（ii）求a₇ ．
（Ⅱ）2017年5月，北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛．组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位．
（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？
（ii）若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？

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20. 已知a∈R，函数f（x）满足f（2^x）=x²﹣2ax+a²﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）在 $[2^{a - 1} ， 2^{a^{2} - 2 a + 2}]$ 上的值域为[﹣1，0]，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=e^﹣^x﹣ $\frac{1}{1 + x}$ ．
（Ⅰ）证明：当x∈[0，3]时， $e^{- x} \geq \frac{1}{1 + 9 x}$ ．
（Ⅱ）证明：当x∈[2，3]时， $- \frac{2}{7} < f (x) < 0$ ．

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22. 已知a＜﹣1，函数f（x）=|x³﹣1|+x³+ax（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知存在实数m，n（m＜n≤1），对任意t₀∈（m，n），总存在两个不同的t₁ ， t₂∈（1，+∞），
使得f（t₀）﹣2=f（t₁）=f（t₂），求证： $n - m \leq \frac{4}{27}$ ．

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