河南省新乡市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知复数z满足zi⁵=1+2i，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={x∈Z|x²﹣4x﹣5＜0}，B={x|x＞m}，若A∩（∁_RB）有三个元素，则实数m的取值范围是（）

A、[3，4） B、[1，2） C、[2，3） D、（2，3]

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3. 已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）

A、3种 B、4种 C、6种 D、8种

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5. 在区间（﹣2，a）（a＞0）上任取一个数m，若函数f（x）=3^x⁺^m﹣3 $\sqrt{3}$ 在区间[1，+∞）无零点的概率不小于 $\frac{2}{3}$ ，则实数a能取的最小整数是（）

A、1 B、3 C、5 D、6

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6. 已知双曲线l：kx+y﹣ $\sqrt{2}$ k=0与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为 $\frac{4}{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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7. 执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（）

A、∀a∈（2，4），输出的i的值为5 B、∃a∈（4，5），输出的i的值为5 C、∀a∈（3，4），输出的i的值为5 D、∃a∈（2，4），输出的i的值为5

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、13π B、16π C、17π D、21π

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9. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log₂a）+f（3 $l o g_{\frac{1}{8}}$ a）≥2f（﹣1），则实数a的取值范围是（）

A、[2，4] B、[ $\frac{1}{4}$ ，2] C、[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，4] D、[ $\frac{1}{2}$ ，2]

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10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c²sinAcosA+a²sinCcosC=4sinB，cosB= $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，D是AC上一点，且S_△_BCD= $\frac{2}{3}$ ，则 $\frac{A D}{A C}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{5}{9}$

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11. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x₀ ， 2 $\sqrt{2}$ ）（x₀＞ $\frac{p}{2}$ ）是抛物线C上一点．圆M与线段MF相交于点A，且被直线x= $\frac{p}{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ |MA|．若 $\frac{| M A |}{| A F |}$ =2，则|AF|等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、3

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12. 已知函数f（x）=﹣ $\frac{2 + a x^{2}}{e^{x}}$ （a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣ $\frac{7}{e}$ ，则a的取值范围是（）

A、（2，5] B、（2，+∞） C、（1，4} D、[5，+∞）

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{A B}$ =（﹣1，1）， $\vec{A C}$ =（1，5），则向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影为

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14. 已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则cos（5ωφ）= ．

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15. 若实数x、y满足不等式组 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a=

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16. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，AA₁=3，E是AA₁的中点，过C₁作C₁F⊥平面BDE与平面ABB₁A₁交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．

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三、解答题

17. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺）

(1)、求a的值及数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=（1﹣an）log₃（a_n²•a_n₊₁），求 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和为T_n ．

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18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是A₁B₁的中点．

(1)、求证：A₁C∥平面BDC₁；

(2)、若AB⊥AC，且AB=AC= $\frac{2}{3}$ AA₁ ，求二面角A﹣BD﹣C₁的余弦值．

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19. 为了解喜好体育运动是否与性别有关，某报记者随机采访50个路人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
15
[45，55）
[55，65）
[65，75）
频数
5
10
8
10
5
5
喜好人数
4
6
6
3
3

(1)、在调查的结果中，喜好体育运动的女性有10人，不喜好体育运动的男性有5人，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；
喜好体育运动
不喜好体育运动
合计
男生
5
女生
10
合计
50

(2)、若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d）

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20. 已知右焦点为F（c，0）的椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．

(1)、求椭圆M的方程；

(2)、过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．

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21. 已知函数f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）

(1)、若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；

(2)、若函数g（x）=f（x）﹣x在（0， $\frac{1}{2}$ ）上无零点，求a的最小值．

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22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + a \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；

(2)、若直线l被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，求a的值．

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23. 设实数x、y满足2x+y=9．

(1)、若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；

(2)、若x＞0，y＞0，求证： $\frac{x + 8 y}{2 x y}$ ≥ $\frac{25}{18}$ ．

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	喜好体育运动	不喜好体育运动	合计
男生		5
女生	10
合计			50

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828