河南省濮阳市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（理科）（a卷）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设z= $\frac{10 i}{3 + i}$ ，则z的共轭复数为（）

A、﹣1+3i B、﹣1﹣3i C、1+3i D、1﹣3i

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2. 设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．则下列判断正确的是（）

A、p为真 B、￢q为假 C、p∧q为假 D、p∨q为真

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3. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为 $\hat{y}$ =0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）

A、83% B、72% C、67% D、66%

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4. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₄=18﹣a₅ ，则S₈=（　　）

A、18 B、36 C、54 D、72

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5. 设z₁ ， z₂是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若|z₁﹣z₂|=0，则 $\bar{z_{1}}$ = $\bar{z_{2}}$ B、若z₁= $\bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}}$ =z₂ C、若|z₁|=|z₂|，则z₁• $\bar{z_{1}}$ =z₂• $\bar{z_{2}}$ D、若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²

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6. 在一个2×2列联表中，由其数据计算得k²=13.097，则其两个变量间有关系的可能性为（）

A、99% B、95% C、90% D、无关系

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7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S= $\frac{1}{4}$ （b²+c²﹣a²），则∠B=（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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8. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{10}$ +y²=1和双曲线 $\frac{x^{2}}{8}$ ﹣y²=1的公共焦点分别为F₁ ， F₂ ， P是这两曲线的交点，则△PF₁F₂的外接圆半径为（）

A、1 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、3

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9. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁+a₃=30，S₄=120，设b_n=1+log₃a_n ，那么数列{b_n}的前15项和为（）

A、152 B、135 C、80 D、16

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10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x² ，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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11. 如图所示，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M，N分别为A₁B和AC上的点，A₁M=AN= $\frac{a}{3}$ ，则MN与平面BB₁C₁C的位置关系为（）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、不能确定

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12. 函数f（x）=x³﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x₁ ， x₂都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是（　　）

A、20 B、18 C、3 D、0

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二、填空题

13. ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{8}$ 的展开式中的有理项共有．

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14. 在△ABC中，不等式 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ ≥ $\frac{9}{π}$ 成立；在四边形ABCD中，不等式 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ + $\frac{1}{D}$ ≥ $\frac{16}{2 π}$ 成成立；在五边形ABCDE中，不等式 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ + $\frac{1}{D}$ + $\frac{1}{E}$ ≥ $\frac{25}{3 π}$ 成立．猜想在n边形中，不等式成立．

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15. 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=a，a为常数，则P（﹣1≤ξ≤0）= ．

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16. △ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b²=3ac，求A．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=a^x+ $\frac{x - 2}{x - 1}$ （a＞1），用反证法证明f（x）=0没有负实数根．

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18. 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙能攻克的概率为 $\frac{3}{4}$ ，丙能攻克的概率为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求这一技术难题被攻克的概率；

(2)、若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得 $\frac{a}{2}$ 万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得 $\frac{a}{3}$ 万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=2，a_n₊₁=2S_n+2．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}的各项均为正数，且b_n是 $\frac{n}{a_{n}}$ 与 $\frac{n}{a_{n + 2}}$ 的等比中项，求b_n的前n项和T_n ．

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20. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

(1)、求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；

(2)、在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE．

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21. 已知直线y=﹣x+1与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．

(1)、若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，焦距为2，求线段AB的长；

(2)、若向量 $\vec{O A}$ 与向量 $\vec{O B}$ 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ]时，求椭圆的长轴长的最大值．

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22. 已知函数f（x）=e^x﹣ax²﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．

(1)、设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

(2)、若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e﹣2＜a＜1．

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