河南省平顶山市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若（x﹣i）i=y+2i，x，y∈R，其中i为虚数单位，则复数x+yi=（）

A、2+i B、﹣2+i C、1﹣2i D、1+2i

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2. 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（）

A、“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B、“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C、“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D、“ac=bc”是“a=b”的充分条件

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3. 若实数a，b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是（）

A、18 B、6 C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{6}$

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4. 在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）

A、（0， $\frac{π}{6}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ，π） C、（0， $\frac{π}{3}$ ] D、[ $\frac{π}{3}$ ，π）

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5. 已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₂a₃=5，a₇a₈a₉=10，则a₄a₅a₆=（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、5 $\sqrt{2}$ C、6 D、7

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7. 设x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + y - 7 \leq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ 3 x - y - 5 \geq 0 \end{cases}$ ，则z=2x﹣y的最大值为（）

A、10 B、8 C、3 D、2

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8. 设F₁和F₂为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c，若x₀满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）

A、∃x∈R，f（x）≤f（x₀） B、∃x∈R，f（x）≥f（x₀） C、∀x∈R，f（x）≤f（x₀） D、∀x∈R，f（x）≥f（x₀）

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10. 设函数f（x）=xe^x ，则（）

A、x=1为f（x）的极大值点 B、x=1为f（x）的极小值点 C、x=﹣1为f（x）的极大值点 D、x=﹣1为f（x）的极小值点

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11. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A、150种 B、180种 C、300种 D、345种

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12. 已知椭圆T： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 $\bar{A F}$ =3 $\bar{F B}$ ，则k=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 曲线y=4x﹣x³在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是．

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14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（3，100），且P（ξ≤5）=0.84，则P（1≤ξ≤5）= ．

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15. 在（x﹣ $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ）⁵的二次展开式中，x²的系数为（用数字作答）．

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16. 若规定E={a₁ ， a₂ ， …，a₁₀}的子集{a_t1 ， a_t2 ， …，a_k}为E的第k个子集，其中 $k = 2^{t_{1} - 1} + 2^{t_{2} - 1} + \dots + 2^{t_{m} - 1}$ ，则E的第211个子集是．

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三、解答题

17. 已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和．

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18. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与p，且乙投球2次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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19. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= $\frac{1}{2}$ PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF₁BF₂的面积为8．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．

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21. 已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、设f（x）的最小值为g（a），求证： $- \frac{1}{a} < g (a) < 0$ ．

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22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、将直线l： ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）化为极坐标方程；

(2)、设P是（1）中直线l上的动点，定点A（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ），B是曲线ρ=﹣2sinθ上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．

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23. 解答题

(1)、解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；

(2)、设a²﹣2ab+5b²=4对∀a，b∈R成立，求a+b的最大值及相应的a，b．

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