2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期数学期末考试试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若i为虚数单位，a、b∈R，且 $\frac{a + 2 i}{i}$ =b+i，则ab=（）

A、﹣1 B、1 C、﹣2 D、2

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2. 设x＞0，由不等式x+ $\frac{1}{x}$ ＞2，x+ $\frac{4}{x^{2}}$ ≥3，x+ $\frac{27}{x^{3}}$ ≥4，…，类比推广到x+ $\frac{a}{x^{n}}$ ≥n+1，则a=（）

A、nⁿ B、n² C、2n D、n

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3. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 用反证法证明“a、b∈N^* ，如果a、b能被2017整除，那么a、b中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（）

A、a不能被2017整除 B、b不能被2017整除 C、a、b都不能被2017整除 D、a、b中至多有一个能被2017整除

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5. 为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据
患流感
未患流感
服用药
2
18
未服用药
8
12
根据表中数据，通过计算统计量K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，并参考以下临界数据：
P（K²＞k₀）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（）

A、0.05 B、0.025 C、0.01 D、0.005

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6. 已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 若圆的方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + 2 c o s θ \\ y = 3 + 2 s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线的方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t - 1 \\ y = 6 t - 1 \end{matrix}$ （t为参数），则直线与圆的位置关系是（）

A、相交过圆心 B、相交而不过圆心 C、相切 D、相离

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8. 下列命题中正确的是（）

A、命题“∃x₀∈R，sinx₀＞1”的否定是“∀x∈R，sinx＞1” B、“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0” C、在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件 D、若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假

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9. 若ab＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（1，2），则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、5 D、4

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10. 已知抛物线y²=4 $\sqrt{3}$ x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若 $\vec{A F}$ =3 $\vec{F B}$ ，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）

A、8 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 设等差数列{a_n}满足（1﹣a₁₀₀₈）⁵+2016（1﹣a₁₀₀₈）=1，（1﹣a₁₀₀₉）⁵+2016（1﹣a₁₀₀₉）=﹣1，数列{a_n}的前n项和记为S_n ，则（）

A、S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉ B、S₂₀₁₆=﹣2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉ C、S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉ D、S₂₀₁₆=﹣2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉

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12. 若函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则 $\frac{a + b - 3}{a - 1}$ 的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，1） B、（ $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{5}{4}$ ） D、（ $\frac{5}{4}$ ，2）

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二、填空题

13. 将点P的极坐标（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）化成直角坐标为．

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14. 设A、B分别是复数z₁、z₂ ，在复平面上对应的两点，O为原点，若|z₁+z₂|=|z₁﹣z₂|，则∠AOB的大小为．

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15. 某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
由表中的数据得线性回归方程为 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}$ =6.5，由此预测当广告费为7百万元时，销售额为万元．

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16. 如图，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ， |F₁F₂|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF₂交y轴于点A，△APF₁的内切圆切边PF₁于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 在直角坐标系xOy中，直线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²（1+2sin²θ）=3．
（Ⅰ）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线C₁与曲线C₂相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|﹣|MB||．

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18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．

(1)、求A；

(2)、若a= $\sqrt{7}$ ，△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求b+c．

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19. 已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n₊₁= $\frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ （n∈N^*）．

(1)、证明：数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=a_na_n₊₁ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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20. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．

(1)、求证：SA⊥BD；

(2)、若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．

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21. 设函数f（x）= $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，g（x）=lnx+ $\frac{a}{x}$ （a＞0）．

(1)、求函数f（x）的极值；

(2)、若∃x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求a的取值范围．

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22.
已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过右焦点F的直线l，交椭圆于A、B两点，记△AOF的面积为S₁ ， △BOF的面积为S₂ ，当S₁=2S₂时，求 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ 的值．

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P（K²＞k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

	患流感	未患流感
服用药	2	18
未服用药	8	12