广东省中山市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若复数z满足z﹣2i=﹣i•z，则z=（）

A、﹣1+i B、1﹣i C、1+i D、﹣1﹣i

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2. 设随机变量X～B（8，p），且D（X）=1.28，则概率p的值是（）

A、0.2 B、0.8 C、0.2或0.8 D、0.16

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3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如表：
使用智能手机
不使用智能手机
总计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
总计
20
10
30
附表：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算K²的观测值为10，则下列选项正确的是（）

A、有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B、有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响 D、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响

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4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）

A、假设a、b、c都是偶数 B、假设a、b、c都不是偶数 C、假设a、b、c至多有一个偶数 D、假设a、b、c至多有两个偶数

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5. 函数f（x）=x²﹣lnx的单调递减区间是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ， $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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6. 已知X的分布列为
X
﹣1
0
1
P
   $\frac{1}{2}$
   $\frac{1}{3}$
   $\frac{1}{6}$
设y=2x+3，则E（Y）的值为（   ）

A、 $\frac{7}{3}$ B、4 C、﹣1 D、1

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7. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
附：若X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

A、1 193 B、1 359 C、2 718 D、3 413

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9. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5

A、产品的生产能耗与产量呈正相关 B、t的取值必定是3.15 C、回归直线一定过点（4，5，3，5） D、A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

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10. 将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）

A、150 B、210 C、240 D、300

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11. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式： $a_{n} = {\begin{matrix} \frac{n^{2} - 1}{2} ，_{} n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2} ，_{} n 为偶数 \end{matrix}$ ，如果把这个数列{a_n}排成如图形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为（）

A、1200 B、1280 C、3528 D、3612

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12. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）

A、f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e²f（0） B、f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e²f（0） C、f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e²f（0） D、f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e²f（0）

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二、填空题

13. 直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为．

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14. 计算定积分： $\int_{0}^{1} \sqrt{- x^{2} + 2 x} d x$ = ．

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15. 已知（1﹣x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₅x⁵ ，则（a₀+a₂+a₄）（a₁+a₃+a₅）的值等于．

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16. 已知函数f（x）=x²+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在 $x_{1} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，使得对任意的 $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 在（2 $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁶的展开式中，求：

(1)、第3项的二项式系数及系数．

(2)、含x²的项．

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18. 在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n= $\frac{1}{2}$ （a_n+ $\frac{1}{a_{n}}$ ），

(1)、求a₁ ， a₂ ， a₃；

(2)、由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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19. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①

y = C_{1} x^{2} + C_{2}

与模型；②

y = e^{C_{3} x + C_{4}}

作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．

温度x/℃	20	22	24	26	28	30	32
产卵数y/个	6	10	21	24	64	113	322
t=x²	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\bar{x}$	$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
26	692	80	3.57
$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$	$\frac{\sum_{i = 1}^{7} (z_{i} - \bar{z}) (t_{i} - \bar{t})}{\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中 $t_{i} = x_{i}^{2}$ ， $\bar{t} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} t_{i}$ ，z_i=lny_i ， $\bar{z} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} z_{i}$ ，

附：对于一组数据（μ₁ ， ν₁），（μ₂ ， ν₂），…（μ_n ， ν_n），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (μ_{i} - \bar{μ}) (ν_{i} - \bar{ν})}{\sum_{i = 1}^{n} {(μ_{i} - \bar{μ})}^{2}}$ ， $α = \bar{ν} - β \bar{μ}$

(1)、根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C₁ ， C₂ ， C₃ ， C₄与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）

(2)、若模型①、②的相关指数计算分别为

R_{1}^{2} = 0.82 ， R_{2}^{2} = 0.96

．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．

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20. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

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21. 对于命题P：存在一个常数M，使得不等式 $\frac{a}{2 a + b} + \frac{b}{2 b + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 2 b} + \frac{b}{b + 2 a}$ 对任意正数a，b恒成立．

(1)、试给出这个常数M的值；

(2)、在（1）所得结论的条件下证明命题P；

(3)、对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式 $\frac{a}{3 a + b} + \frac{b}{3 b + c} + \frac{c}{3 c + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 3 b} + \frac{b}{b + 3 c} + \frac{c}{c + 3 a}$ 对任意正数a，b，c恒成立．”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2} - x + 3 a^{3} - 4 a^{2} - a + 2 (a \in R)$ 存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x₁和x₂分别是f（x）的两个极值点且x₁＜x₂ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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	使用智能手机	不使用智能手机	总计
学习成绩优秀	4	8	12
学习成绩不优秀	16	2	18
总计	20	10	30

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

X	﹣1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5