广东省广州市荔湾区2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-22 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 在复平面内，复数（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i）²所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列命题中的假命题是（）

A、∃x∈R，lgx＞0 B、∃x∈R，sinx=1 C、∀x∈R，x²＞0 D、∀x∈R，2^x＞0

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3. 设f（x）=xlnx，若f′（x₀）=2，则x₀=（）

A、e² B、e C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、ln2

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4. 已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知Z～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）

A、0.3413 B、0.4772 C、0.1359 D、0.8185

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6. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{O B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{O C}$ = $\vec{c}$ ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ =（）

A、﹣ $\frac{2}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{2}{3} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a}$ + $\frac{2}{3} \vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 直线x= $\frac{π}{2}$ ，x= $\frac{3 π}{2}$ ，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）

A、2 B、3 C、π D、2π

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8. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）

A、80种 B、100种 C、120种 D、126种

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9. 抛物线y²=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 以下命题正确的个数为（）
①存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；
②在△ABC中，“A＞ $\frac{π}{6}$ ”是“sinA＞ $\frac{1}{2}$ ”的充要条件；
③命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；
④命题“若α= $\frac{π}{6}$ ，则sinα= $\frac{1}{2}$ ”的否命题是“若α≠ $\frac{π}{6}$ ，则sinα≠ $\frac{1}{2}$ ”．

A、1 B、2 C、3 D、4

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11.
如图，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{10}$ +y²=1，双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），若以C₁的长轴为直径的圆与C₂的一条渐近线交于A，B两点，且C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C₂的离心率为（）

A、9 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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12. 已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）

A、f（1）＜ef（0），f（2）＜e²f（0） B、f（1）＞ef（0），f（2）＜e²f（0） C、f（1）＜ef（0），f（2）＞e²f（0） D、f（1）＞ef（0），f（2）＞e²f（0）

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二、填空题：

13. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y²=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为．

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14. 代数式 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$ 中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+ $\frac{1}{t}$ =t，则t²﹣t﹣1=0，取正值得t= $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，用类似方法可得 $\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$ = ．

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15. 用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为．

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16. 在（2+x）⁶（x+y）⁴的展开式中，记x^myⁿ项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）= ．（用数字作答）

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n₊₁=2﹣ $\frac{1}{a_{n}}$ （n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂ ， a₃ ， a₄的值，猜想出数列的通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

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18. 已知函数f（x）=ax+ $\frac{b}{x}$ （a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

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19. 如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2 $\sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．

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20. 某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：
（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：
等级
一等品
二等品
三等品
重量（g）
[165，185]
[155，165）
[145，155）
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且经过点M（﹣3，﹣1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

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22. 已知函数f（x）=aln（x+1）+ $\frac{1}{2}$ x²﹣x，其中a为实数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求证：2f（x₂）﹣x₁＞0．

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等级	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[165，185]	[155，165）	[145，155）