河南省南阳市淅川县2020届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-03-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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2. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如果一个扇形的半径是1，弧长是 $\frac{π}{3}$ ，那么此扇形的圆心角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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4. 将抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）

A、 $y = {(x - 4)}^{2} - 6$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} - 2$

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < - 2$ B、 $k < 2$ C、 $k > 2$ 且 $k \neq 1$ D、 $k < 2$ 且 $k \neq 1$

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6. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $c < 0$ B、 $b^{2} - 4 a c < 0$ C、 $a - b + c < 0$ D、图象的对称轴是直线 $x = 3$

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10. 如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 90 °$ ，点 $P$ 从点 $O$ 沿边 $O A$ ， $A B$ 匀速运动到点 $B$ ，过点 $P$ 作 $P C ⊥ O B$ 交 $O B$ 于点 $G$ ，线段 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $O C = x$ ， $S_{△ P O C} = y$ ，则能够反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算 $\frac{14}{\sqrt{7}} - \sqrt{28}$ 的结果是.

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12. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡 $A B$ 的高度为 $6$ 米，斜面的坡比为 $1 ： 2$ ，则斜坡 $A B$ 的长为米.（保留根号）

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14. 如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 中 $C D$ 边上一点，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 折叠为 $△ B F E$ ，点 $F$ 落在边 $A D$ 上，若 $A B = 8$ ， $B C = 10$ ，则 $C E =$ .

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15. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，在以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点， $A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立的平面直角坐标系中，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $A$ 旋转至 $y$ 轴的正半轴上的点 $A^{'}$ 处，若 $A O = O B = 2$ ，则图中阴影部分面积为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值：(x－1)÷(x－ $\frac{2 x - 1}{x}$ ),其中x = $\sqrt{2}$ +1

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17. 消费者在某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有 $4$ 张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为 $2$ 张笑脸、 $2$ 张哭脸.现将 $4$ 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌.

(1)、现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，她从中随机翻开一张纸牌，小杨获奖的概率是.

(2)、如粜小杨、小月都有翻两张牌的机会，小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖.他们谁获奖的机会更大些？通过画树状图或列表法分析说明理由.

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $E$ ，与 $⊙ O$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ .

(1)、求证： $B D = B E$ ；

(2)、若 $D E = 4$ ， $B D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A E$ 的长.

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19. 知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ，cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ，tan53°≈ $\frac{4}{3}$ )

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20. 某商场销售一种成本为每件 $30$ 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间的关系可近似看作一次函数 $y = - 10 x + 600$ .商场销售该商品每月获得利润为 $W$ （元）.

(1)、求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、如果商场销售该商品每月想要获得 $2000$ 元的利润，那么每件商品的销售单价应为多少元？

(3)、商场每月要获得最大的利润，该商品的销售单价应为多少？

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21. 某班“数学兴趣小组”对函数y=x²﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣ $\frac{5}{2}$
﹣2
﹣1
0
1
2
$\frac{5}{2}$
3
…
y
…
3
$\frac{5}{4}$
m
﹣1
0
﹣1
0
$\frac{5}{4}$
3
…

(1)、其中，m=.

(2)、根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(3)、观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)、进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x²﹣2|x|=0有个实数根；

②方程x²﹣2|x|=2有个实数根.

③关于x的方程x²﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ，点 $P$ 为射线 $B D$ ， $C E$ 的交点.

(1)、问题提出：如图1，若 $A D = A E$ ， $A B = A C$ .
① $∠ A B D$ 与 $∠ A C E$ 的数量关系为；

② $∠ B P C$ 的度数为.

(2)、猜想论证：如图2，若 $∠ A D E = ∠ A B C = 30 °$ ，则（1）中的结论是否成立？请说明理由.

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23. 如图，已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 $C$ 、 $B$ 不重合），过点 $D$ 作 $D F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ 、 $C D$ .设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ， $△ B C D$ 的面积为 $S$ .求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式及自变量 $m$ 的取值范围，并求出 $S$ 的最大值；

(3)、已知 $M$ 为抛物线对称轴上一动点，若 $△ M B C$ 是以 $B C$ 为直角边的直角三角形，请直接写出点 $M$ 的坐标.

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x	…	﹣3	﹣ $\frac{5}{2}$	﹣2	﹣1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	3	$\frac{5}{4}$	m	﹣1	0	﹣1	0	$\frac{5}{4}$	3	…