上海市2017年复旦附中数学高考模拟试卷（5月份）

试卷更新日期：2017-08-21 类型：高考模拟

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一、一.填空题

1. 函数f（x）=lnx+ $\sqrt{1 - x}$ 的定义域为．

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2. 若双曲线x²﹣y²=a²（a＞0）的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则a= ．

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3. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．

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4. 若方程x²+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．

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5. 盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．

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6. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减，则m的最小值为．

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7. 若 ${(3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{3}})}^{n}$ 的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．

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8. 若关于x，y，z的三元一次方程组 ${\begin{matrix} x + z = 1 \\ 2 x + y s i n θ + 3 z = 2 \\ x s i n^{2} θ + z = 3 \end{matrix}$ 有唯一解，则θ的取值的集合是．

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9. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} y \leq 5 \\ 2 x - y + 3 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 则z=|x|+2y的最大值是．

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10. 如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC= $\frac{1}{3}$ ， $\vec{D C}$ =2 $\vec{B D}$ ，则 $\vec{A D}$ • $\vec{B C}$ 的值为．

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11. 已知f（x）= $\frac{2^{1 + x} + 2^{1 - x} + a r c s i n x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．

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12. 已知四数a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．

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二、二.选择题

13. 直线 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} - 2 t \\ y = \sqrt{3} + 4 t \end{matrix}$ （t为参数）的倾斜角是（）

A、 $a r c t a n (- \frac{1}{2})$ B、arctan（﹣2） C、 $π - a r c t a n \frac{1}{2}$ D、π﹣arctan2

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14. “x＞0，y＞0”是“ $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、2+ $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{2}$

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16. 对数列{a_n}，如果∃k∈N^*及λ₁ ， λ₂ ， …，λ_k∈R，使a_n₊_k=λ₁a_n₊_k_﹣₁+λ₂a_n₊_k_﹣₂+…+λ_ka_n成立，其中n∈N^* ，则称{a_n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{a_n}是等比数列，则{a_n}为1阶递归数列；
②若{a_n}是等差数列，则{a_n}为2阶递归数列；
③若数列{a_n}的通项公式为 $a_{n} = n^{2}$ ，则{a_n}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、三.简答题

17. 若向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n ω x ， 0) \vec{n} = (c o s ω x ， - s i n ω x) (ω > 0)$ ，在函数 $f (x) = \vec{m} \cdot (\vec{m} + \vec{n}) + t$ 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}] 时， f (x)$ 的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

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18. 如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5 $\sqrt{2}$ km．

(1)、求居民区A与C的距离；

(2)、现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
①求w关于θ的函数表达式；
②求w的最小值及此时tanθ的值．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；

(1)、求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；

(2)、在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x₀ ， y₀）是椭圆C： $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=r²作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k₁ ， k₂

(1)、若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；

(2)、若r= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，①求证：k₁k₂=﹣ $\frac{1}{4}$ ；②求OP•OQ的最大值．

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21. 已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a_n}共有m项，记该数列前i项a₁ ， a₂ ， …，a_i中的最大项为A_i ，该数列后m﹣i项a_i₊₁ ， a_i₊₂ ， …，a_m中的最小项为B_i ， r_i=A_i﹣B_i（i=1，2，3，…，m﹣1）；

(1)、若数列{a_n}的通项公式为 $a_{n} = 2^{n}$ （n=1，2，…，m），求数列{r_i}的通项公式；

(2)、若数列{a_n}满足a₁=1，r₁=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a_n}的通项公式；

(3)、试构造项数为m的数列{a_n}，满足a_n=b_n+c_n ，其中{b_n}是公差不为零的等差数列，{c_n}是等比数列，使数列{r_i}是单调递增的，并说明理由．

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