湖北省孝感市安陆市2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-03-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 $a^{3} \cdot (- a)$ 的结果是（）

A、 $a^{2}$ B、 $- a^{2}$ C、 $a^{4}$ D、 $- a^{4}$

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2. 若分式 $\frac{x}{x + 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x < - 2$ C、 $x \neq 0$ D、 $x \neq - 2$

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3. 若 $a + b = 3$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 6 b$ 的值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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4. 点P（m，-2）与点P₁（-4，n）关于x轴对称，则m，n的值分别为（）

A、 $m = 4$ ， $n = - 2$ B、 $m = - 4$ ， $n = 2$ C、 $m = - 4$ ， $n = - 2$ D、 $m = 4$ ， $n = 2$

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5. 如果 $m + n = 1$ ，那么代数式 $(\frac{2 m + n}{m^{2} - m n} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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6. 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）

A、72° B、60° C、50° D、58°

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7. 如图，在小正三角形组成的网格中，已有 $6$ 个小正三角形涂黑，还需涂黑 $n$ 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 $n$ 的最小值为（）

A、 $10$ B、 $6$ C、 $3$ D、 $2$

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8. 如图所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）

A、△ABC的重心处 B、AD的中点处 C、A点处 D、D点处

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9. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）

A、b>0，b²-ac≤0 B、b＜0，b²-ac≤0 C、b>0，b²-ac≥0 D、b＜0，b²-ac≥0

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10. 如图，已知△ABC中，AB=7，AC=5，BC=3，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

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二、填空题

11. 因式分解：a³+2a²+a= ．

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12. 人体中红细胞的直径约为0.0000077 m，数据0.0000077用科学记数法表示为

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $B D$ 是边 $A C$ 上的高， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $B D$ 于点 $E$ ， $D E = 2$ ， $B C = 5$ ，则 $Δ B C E$ 的面积为.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $C E ⊥ B D$ ，交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，若 $B D = 8$ ，则 $C E =$ .

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15. 如图所示的网格是正方形网格，则 $∠ P A B ＋ ∠ P B A$ ＝°（点A，B，P是网格线交点）.

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16. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，4…)，第n个图形中共有个顶点(结果用含n的式子表示).

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(m + \frac{4 m + 4}{m}) \div \frac{m + 2}{m^{2}}$ ，其中 $m = 3$ ．

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18. 解方程： .

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19. 观察以下等式：
第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

……按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第6个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明.

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20. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 120 °$ ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ ， $N$ 两点，直线 $M N$ 交 $A B$ 于 $D$ ，交 $B C$ 于 $E$ .请你观察图形，猜想 $C E$ 与 $B E$ 之间的数量关系，并证明你的结论.

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21. 从安陆到武汉市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是100千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.

(1)、求普通列车的行驶路程；

(2)、设计高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短45分钟，求高铁的平均速度.

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22.

(1)、计算： $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

(2)、已知： $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 4$ ， $a^{k} = 32 (a \neq 0)$
①求 $a^{3 m + 2 n - k}$ 的值；

②求 $k - 3 m - n$ 的值.

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23. 仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $x + 3$ ，求另一个因式以及 $m$ 的值.

解法一：设另一个因式为 $x + n$ ，得 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$

则 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ ，

∴ ${\begin{matrix} n + 3 = - 4 \\ m = 3 n \end{matrix}$ 解得 $n = - 7$ ， $m = - 21$ .

∴另一个因式为 $x - 7$ ， $n$ 的值为－21.

解法二：设另一个因式为 $x + n$ ，得 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$

∴当 $x = - 3$ 时， $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n) = 0$

即 ${(- 3)}^{2} - 4 \times (- 3) + m = 0$ ，解得 $m = - 21$

∴ $x^{2} - 4 x + m = x^{2} - 4 x - 21 = (x + 3) (x - 7)$

∴另一个因式为 $x - 7$ ， $n$ 的值为－21.

问题：仿照以上一种方法解答下面问题.

(1)、若多项式 $x^{2} - p x - 6$ 分解因式的结果中有因式 $x - 3$ ，则实数 $p =$ .

(2)、已知二次三项式 $2 x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是 $2 x + 5$ ，求另一个因式及 $k$ 的值.

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24. 如图

(1)、如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A D$ 的平分线，试判断 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长 $A E$ 交 $D C$ 的延长线于点 $F$ ，易证 $Δ A E B ≌ Δ F E C$ 得到 $A B = F C$ ，从而把 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 转化在一个三角形中即可判断. $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 之间的等量关系；

(2)、问题探究：如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A F$ 与 $D C$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A F$ 的平分线，试探究 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 之间的等量关系，并证明你的结论.

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