江西省南昌一中、十中、南铁一中联考2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设i为虚数单位，复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为纯虚数，则实数a为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁_UA=（）

A、{1，2，3} B、{4，5} C、{1，2，3，4，5} D、∅

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3. 已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）

A、∃x∈R，sinx≥1 B、∀x∈R，sinx≥1 C、∃x∈R，sinx＞1 D、∀x∈R，sinx＞1

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4. “|x|＜2”是“x²﹣x﹣6＜0”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A、y=x³+x B、y=﹣ $\frac{1}{x}$ C、y=sinx D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x} - 2^{x}$

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6. 某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）

A、3 $\sqrt{3}$ B、6 $\sqrt{3}$ C、9 $\sqrt{3}$ D、18 $\sqrt{3}$

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7. 函数f（x）=e^x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）

A、（ $- \frac{1}{2} ， 0$ ） B、（ $0 ， \frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2} ， 1$ ） D、（ $1 ， \frac{3}{2}$ ）

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8. 已知f（x）= ${\begin{matrix} {(x - a)}^{2} ， x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a ， x > 0 \end{matrix}$ 在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）

A、4 B、1 C、3 D、2

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9. 已知函数f（x）=2mx²﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）

A、（0，2） B、（0，8） C、（2，8） D、（﹣∞，0）

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10. 函数f（x）=cosπx与g（x）=|log₂|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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11. 设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[ $\frac{a}{2}$ ， $\frac{b}{2}$ ]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）

A、（0， $\frac{1}{4}$ ） B、（0，1） C、（0， $\frac{1}{2}$ ] D、（ $\frac{1}{4}$ ，+∞）

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 4 | l o g_{2} x | ， 0 < x < 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 12 ， x \geq 2 \end{matrix}$ ，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）

A、（16，21） B、（16，24） C、（17，21） D、（18，24）

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二、填空题

13. 若命题“存在实数x，使得x²+（1﹣a）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是

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14. 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）= ${\begin{matrix} \begin{matrix} a x + 1 ， - 1 \leq x < 0 \end{matrix} \\ \frac{b x + 2}{x + 1} ， 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}$ 其中a，b∈R．若 $f (\frac{1}{2})$ = $f (\frac{3}{2})$ ，则a+3b的值为．

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15. 棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA₁ ， DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．

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16. 函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁ ， x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；② $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ ；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{8})$ = ．

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三、解答题

17. 已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调增；命题q：不等式ax²﹣ax+1＞0对任意实数x恒成立．若p∧q假，p∨q真，则a的取值范围为

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18. 已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1．

(1)、求证：函数f（x）在R上为增函数；

(2)、若f（3）=4，解不等式f（a²+a﹣5）＜2．

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19. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，且DM=2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：OM∥平面ABD；

(2)、求证：平面DOM⊥平面ABC；

(3)、求点B到平面DOM的距离．

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20. 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K
是否愿意提供志愿者服务
性别
愿意
不愿意
男生
20
5
女生
10
15
（Ⅰ）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；
（Ⅲ）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验统计量 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．

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21. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，

(1)、求证：BG⊥平面PAD；

(2)、求证：AD⊥PB；

(3)、若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

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22. 已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线f经过点P（1，1）．
（I）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与x²+y²=4相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |}$ + $\frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数f（x）= $\sqrt{x}$ + $\sqrt{8 - x}$ ．
（I）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，求实数k的取值范围．

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P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828