2015年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）

试卷更新日期：2016-04-15 类型：高考真卷

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一、单项选择：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2） $<$ 0}，则A $\cap$ B=()

A、A={-1，0} B、{0，1} C、{-1，0，1} D、{0，1，2}

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2. 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3.
根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（）

A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B、2007年我国治理二氧化硫排放显现 C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

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4.
已知等比数列{a_n}满足a_1=3，a₁₊a₃+a₅=21，则a₃+a₅₊a_7=（）

A、21 B、42 C、63 D、84

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5.
设函数f（x）= $\{\begin{matrix} 1 + \log_{2 (2 - x), X < 1} \\ 2^{x - 1}, x \geq 1, \end{matrix}$ ,f（-2）+f（log₂12）=（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6.
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、8 C、4 $\sqrt{6}$ D、10

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8.
右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）

A、0 B、2 C、4 D、14

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9. 已知A，B是球O的球面上两点， $∠$ AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体检的最大值为36，则球O的表面积为（）

A、36 $π$ B、64 $π$ C、144 $π$ D、256 $π$

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10.
如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 $∠$ BOP=x，将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上， $△$ ABM为等腰三角形，且顶角为120^$\circ$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12.
设函数f^‘（x）是奇函数f（x）（x $\in$ R）的导函数，f（-1）=0，当x $>$ 0时，xf'（x）-f（x） $<$ 0，则使得f（x） $>$ 0成立的x的取值范围是（）

A、（- $\infty$ ， -1） $\cup$ （0，1） B、（-1，0） $\cup$ （1，+ $\infty$ ） C、（- $\infty$ ， -1） $\cup$ （-1，0） D、（0，1） $\cup$ （1，+ $\infty$ ）

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行，向量 $λ$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ +2 $\vec{b}$ 平行，则实数 $λ$ =

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14. 若x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ .则z=x+y的最大值为

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15. （a+x）（1+x）⁴的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a= 。

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16. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1 ，则S_n= .

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三、解答题

17. $△$ ABC中，D是BC上的点，AD平分 $∠$ BAC， $△$ ABD面积是 $△$ ADC面积的2倍

(1)、（I）求 $\frac{\sin ∠ B}{\sin ∠ C}$

(2)、(II)若AD=1，DC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求BD和AC的长

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18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)、
（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）
(2)、（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
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19.
如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，点E、F分别在A₁B_1、C₁D_1上，A1E=D_1F=4，过点E，F的平面 $α$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

(1)、（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

(2)、（Ⅱ）求直线AF与平面 $α$ 所成角的正弦值

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20. 已知椭圆C：9x²+y²=m²（m $>$ 0），直线l不过原点O且不平行于坐轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(1)、(I)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

(2)、（II）若l过点( $\frac{m}{3}$ ， m)延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

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21. 设函数f（x）=e^mx+x²-mx

(1)、（I）证明：f（x）在（- $\infty$ ， 0）单调递减，在（0，+ $\infty$ ）单调递增；

(2)、（II）若对于任意x₁ ， x₂ $\in$ [-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）| $\leq$ e-1，求m的取值范围。

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22.

如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与 $△$ ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点

(1)、（Ⅰ）证明：EF||BC

(2)、（Ⅱ）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=2 $\sqrt{3}$ ，求四边形EBCF的面积

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23. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁： $\{\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ (t为参数，t≠0)，其中0 $\leq α$ $<$ $π$ ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C_{2： $ρ$ =2sin $φ$ ，}C₃： $ρ$ =2 $\sqrt{3}$ cos $φ$

(1)、（Ⅰ）求C₂与C₁交点的直角坐标

(2)、（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值

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24. 设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：

(1)、若ab $>$ cd，则 $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ $>$ $\sqrt{c}$ + $\sqrt{d}$ ；

(2)、 $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ $>$ $\sqrt{c}$ + $\sqrt{d}$ 是|a-b| $<$ |c-d|的充要条件

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满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意