2015年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）

试卷更新日期：2016-04-14 类型：高考真卷

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一、单选题

1. 设复数z满足 $\frac{1 + z}{1 - z} = i$ ，则|z|=( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. sin20⁰cos10⁰-cos160⁰sin10⁰=（ )

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 设命题设命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ，则 $n^{2}$ ＞ $2^{n}$ ，则 $\neg p$ 为( )

A、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} = 2 n$

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4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A、0.648 B、0.432 C、0.36 D、0.312

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5. 已知M（ $x_{0}$ ， $y_{0}$ ）是双曲线C： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 上的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C上的两个焦点，若 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}}$ ＜0，则 $y_{0}$ 的取值范围是( )

A、（ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ） B、（ $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ） C、（ $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ） D、（ $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ）

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6.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）

A、14斛 B、22斛 C、36斛 D、66斛

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7. 设D为 $△ A B C$ 所在平面内一点 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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8.
函数f(x)=cos( $ω$ x+ $φ$ )的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）

A、(k $π$ - $\frac{1}{4}$ ， k $π$ + $\frac{3}{4}$ )， k $\in$ Z B、(2k $π$ - $\frac{1}{4}$ ， 2k $π$ + $\frac{3}{4}$ )，k $\in$ Z C、(k- $\frac{1}{4}$ ， k+ $\frac{3}{4}$ )， k $\in$ Z D、(2k- $\frac{1}{4}$ ， 2k+ $\frac{3}{4}$ )，k $\in$ Z

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9.
1. （x²+x+y)⁵的展开式中，x⁵y²的系数为( )
A、10 B、20 C、30 D、60
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10. 设D为△ABC所在平面内一点 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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11.
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20 $π$ ，则r=( )

A、1 B、2 C、4 D、8

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12. 设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x₀ ，使得f(x₀)<0，则a的取值范围是（）

A、[- $\frac{3}{2 e}$ ， 1) B、[- $\frac{3}{2 e}$ ， $\frac{3}{4}$ ) C、[ $\frac{3}{2 e}$ ， $\frac{3}{4}$ ) D、[ $\frac{3}{2 e}$ ， 1)

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二、填空题

13. 若函数f(x)=xln(x+ $\sqrt{a + x^{2}}$ )为偶函数，则a= 。

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14. 一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .

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15. 若x， y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 .

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16. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

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三、解答题

17. S_n为数列{a_n}的前n项和.已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3,

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ,求数列{b_n}的前n项和.

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18.
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E ， F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ， DF⊥平面ABCD ， BE=2DF ， AE⊥EC.

(1)、证明：平面AEC⊥平面AFC

(2)、求直线AE与直线CF所成角的余弦值

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19.
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i=1；2…8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{w}$
$Σ_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x})^{2}$
$Σ_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w})^{2}$
$Σ_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$Σ_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w_i= $\sqrt{x_{i}}$ ， = $\frac{1}{8} \sum_{i - 1}^{8} w_{i}$

(1)、根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d $\sqrt{x}$ ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)、已知这种产品的年利润z与x ， y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u₁ ， v₁)，(u₂ ， v₂)，……，(u_n ， v_n)，其回归线v= $α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\overset{\land}{β} = \frac{Σ_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{Σ_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u})^{2}} ， \overset{\land}{α} = \bar{v} - \overset{\land}{β} \bar{u}$

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20. 在直角坐标系xOy中，曲线C：y= $\frac{x^{2}}{4}$ 与直线y=kx+a(a＞0)交与M ， N两点，

(1)、当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)、y轴上是否存在点P ，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

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21. 已知函数f（x）=x³+ax+ $\frac{1}{4}$ ， g(x)=-lnx.

(1)、当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；

(2)、用min{m，n} 表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h（x）零点的个数.

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22. 如图AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E.

(1)、若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；

(2)、若OA= $\sqrt{3}$ CE，求∠ACB的大小.

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23. 在直角坐标系xOy中，直线C₁: x=-2，圆C₂:(x-1)²+(y+2)²=1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求C_1, C₂的极坐标方程.

(2)、若直线C₃的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设C_2,C₃的交点为M,N，求△C₂MN的面积.

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24. 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|， a>0.

(1)、当a=1时求不等式f(x)>1的解集；

(2)、若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

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$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$Σ_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x})^{2}$	$Σ_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w})^{2}$	$Σ_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$Σ_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8