2015年高考理数真题试卷（湖南卷）

试卷更新日期：2016-04-14 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的

1. 已知 $\frac{(1 - i)^{2}}{z} = 1 + i$ （i为虚数单位），则复数z= ( )

A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i

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2. 设 $A$ , $B$ 是两个集合，则“ $A \cap B$ = $A$ "是" $A$ $\subseteq$ $B$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条

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3.
执行如图所示的程序框图，如果输入 $n = 3$ ，则输出的 $S =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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4. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 $\{{2 x - y ⩽ 1}_{y ⩽ 1}^{x + y ⩾ - 1} \begin{matrix} \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为（）

A、-7 B、-1 C、1 D、2

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5. 设函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)$ ，则是 $f (x)$ （）

A、奇函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是增函数 B、奇函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是减函数 C、偶函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是增函数 D、偶函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是减函数

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6. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项的系数为30，则 $a$ =( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{- 3}$ C、6 D、- 6

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7.
在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附：若 $X ~ N (μ - σ^{- 2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$

A、2386 B、2718 C、3413 D、4772

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8. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，且 $A B ⊥ B C$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则 $|\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}|$ 的最大值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图像，若对满足 $|f (x_{1}) - g (x_{2})| = 2$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 ${|x_{1} - x_{2}|}_{m i n} = \frac{π}{3}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{5 φ}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10.
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）

A、 $\frac{8}{9 π}$ B、 $\frac{16}{9 π}$ C、 $\frac{4 {(\sqrt{2} - 1)}^{3}}{π}$ D、 $\frac{12 {(\sqrt{2} - 1)}^{3}}{π}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. $\int_{0}^{2} (x - 1) d x$ = .

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12.
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间 $[139 ， 151]$ 上的运动员人数是

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13.
设 $F$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$ 使线段 $P F$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为

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14. 设 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ，且 $3 S_{1 ，} 2 S_{2} ， S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n =}$ 。

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15.
1. 已知 $\{\begin{matrix} x^{2} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{matrix}$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是。
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三、解答题

16.
（1）如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $A B$ ， $C D$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，直线 $M O$ 与直线 $C D$ 相交于点 $F$ ，证明：

（1） $< M E N + N O M = 180^{0}$ ；

（2） $F E - F N = F M - F O$

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17. 已知直线 $l \{\begin{matrix} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），一坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$

(1)、(1)将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程，

(2)、（2）设点 $M$ 的直角坐标为 $M (5 \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A ， B$ ，求 $|M A| \cdot |M B|$ 的值

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18. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，证明

(1)、 $a + b = \geq 2$

(2)、 $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立

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19. 设 $△ A B C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，， a = b \tan A ，$ 且 $B$ 为锐角，问：（1）证明： B - A = $\frac{π}{2}$ ，（2）求 sin A + sin C 的取值范围

(1)、（1）证明： $B - A = \frac{π}{2}$

(2)、（2）求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围

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20. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，求下列问题：（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.

(1)、（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率

(2)、（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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21.
如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形， $A A_{1} = 6$ ，且

$A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在棱 $D D_{1}$ ， $B C$ 上.

(1)若是 $P$ 是 $D D_{1}$ 的中点，证明： $A B_{1} ⊥ P Q$ ；

(2若 $P Q$ //平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，二面角 $P - Q D - A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$ ，求四面体 $A D P Q$ 的体积

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22. 已知抛物线C₁：x²=4y 的焦点F也是椭圆c₂： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， C₁和C₂的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$
（1）求 C₂的方程；
（2）过点F 的直线 l与 C₁相交于A与B两点，与C₂相交于C ， D两点，且 $\bar{A C}$ 与 $\bar{B D}$ 同向
（ⅰ）若 $|A C| = |B D|$ 求直线l的斜率；
（ⅱ）设 C₁在点 A处的切线与 x轴的交点为M ，证明：直线l 绕点 F旋转时， $△$ MFD总是钝角三角形。

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23. 已知 $a > 0$ 函数 $f (x) = \sin x (x \in [0 ， + \infty]$ )记x为 $f (x)$ 的从小到大的第n( $n \in N$ )个极植点，证明：
（1）数列 $\{f (x)\}$ 的等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ 则对一切 $n \in N ， x < |f (x)|$ 恒成立

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