四川省成都市树德中2018-2019学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-03-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2018的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2018}$ B、2018 C、-2018 D、 $- \frac{1}{2018}$

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2. 下列运算正确是（　　）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{4} = a^{8}$ D、 $a^{3} - a^{2} = a$

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3. 小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（　　）

A、3.26×10^﹣⁴毫米 B、0.326×10^﹣⁴毫米 C、3.26×10^﹣⁴厘米 D、32.6×10^﹣⁴厘米

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 4 = 0$ 的根的情况是 $($ 　　 $)$

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 已知函数y= $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}$ ，则自变量x的取值范围是（　　）

A、﹣1＜x＜1 B、x≥﹣1且x≠1 C、x≥﹣1 D、x≠1

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6. 要调查安顺市中学生了解禁毒知识的情况，下列抽样调查最适合的是（）

A、在某中学抽取200名女生 B、在安顺市中学生中抽取200名学生 C、在某中学抽取200名学生 D、在安顺市中学生中抽取200名男生

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7. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中，斜边 $AB = m$ ， $∠ A = 32^{\circ}$ ，则直角边BC的长为 $($ 　　 $)$

A、 $msin 32^{\circ}$ B、 $ncos 32^{\circ}$ C、 $\frac{m}{sin 32^{\circ}}$ D、 $\frac{m}{cos 32^{\circ}}$

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8. 一元二次方程x²﹣2x=0的两根分别为x₁和x₂ ，则x₁x₂为（　　）

A、﹣2 B、1 C、2 D、0

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9. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（）

A、 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{Δ A B C}} = \frac{4}{9}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{C E}$ D、AD•AB=AE•AC

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10. 函数y=mx+n与，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{3} - a b^{2}$ .

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12. 如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为 $(3 ， 5)$ ，则点C的坐标为．

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13. 如图：M为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点， $MA ⊥ y$ 轴于A， $S_{△ MAO} = 4$ 时， $k =$ ．

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14. 如图，将 $△ ABC$ 绕点A逆时针旋转 $140^{\circ}$ ，得到 $△ ADE$ ，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则 $∠ ADE$ 的度数为．

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15. 实数a在数轴上的位置如图，化简 $| \sqrt{2} - a | + a =$ ．

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16. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 kx + k^{2} - k = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，则k的值是．

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17. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3} / / l_{4}$ ，且相邻两条平行线的距离都相等，若等腰 $Rt △ ABC$ 的三个顶点都在直线上，则 $cosα =$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过AB的中点D，和BC相交于点E，连接OE，OD，DE，若 $OE / / AB$ ，则 $\frac{S_{△ OED}}{S_{梯形 OABC}} =$ ．

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19. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，AC，将 $△ AEC$ 沿AE翻折得到 $△ AEC'$ ，延长 $C'E$ 交CD边于F，若 $\frac{DF}{CF} = \frac{n + 1}{n - 1} (n > 1)$ ，则 $\frac{BE}{CE} =$ $($ 用含n的代数式表示 $)$ ．

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三、解答题

20. 先化简，再求值： $\frac{x - 1}{x} \div (x - \frac{2 x - 1}{x})$ ，其中x= $\sqrt{3} + 1$ ．

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21. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．

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22. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站， $AB = 2 km$ ，从A测得船C在北偏东 $45^{\circ}$ 的方向，从B测得船C在北偏东 ${22.5}^{\circ}$ 的方向．

(1)、求 $∠ ACB$ 的度数；

(2)、船C离海岸线l的距离 $($ 即CD的长 $)$ 为多少？ $($ 不取近似值 $)$

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，已知 $OA = \sqrt{10}$ ， $tan ∠ AOC = \frac{1}{3}$ ，点B的坐标为 $(- \frac{3}{2} ， m)$

(1)、求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；

(2)、观察图象，直接写出使函数值 $y_{1} < y_{2}$ 成立的自变量x的取值范围．

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24. 利民商店经销甲、乙两种商品 $.$ 现有如下信息
信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；

信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．

(1)、甲、乙两种商品的进货单价各是多少？

(2)、据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降 $0.1$ 元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C$ ，点D为AB延长线上一点，连接CD，过A分别作 $A M ⊥ C D$ ，垂足为M，交BC于点N，作 $A P ⊥ B C$ ，垂足为P，交CD于点Q．

(1)、求证： $A N = C Q$ ；

(2)、如图，点E在BA的延长线上，且 $A E = B D$ ，连接EN并延长交CD于点F，求证： $D Q = E N$ ；

(3)、在（2）的条件下，当 $A E = \frac{2}{3} A B$ 时，请直接写出 $\frac{E N}{F N}$ 的值为．

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26. 有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象性质 $.$ 小明根据学习函数的经验，对这两个函数当 $k > 0$ 时的图象性质进行了探究 $.$ 设函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ 图象的交点为A、 $B .$
下面是小明的探究过程：

(1)、如图所示，若已知A的坐标为 $(- 2 ， - 1)$ ，则B点的坐标为．

(2)、若A的坐标为 $(- k ， - 1)$ ，P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点 $N .$ 求证： $PM = PN$ ．

证明过程如下：设 $P (m ， \frac{k}{m})$ ，直线PA的解析式为 $y = ax + b (a \neq 0)$ ．

则 ${\begin{array}{l} - ka + b = 1 \\ ma + b = \frac{k}{m} \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} a = \\ b = \underline{} \end{array}$

所以，直线PA的解析式为．

请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当P点坐标为 $(1 ， k) (k \neq 1)$ 时，判断 $△ PAB$ 的形状，并用k表示出 $△ PAB$ 的面积．

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