人教A版（2019）数学必修第一册 5.5 三角恒等变换

试卷更新日期：2020-03-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. $2 \cos^{2} 22.5 ° - 1 =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 化简 $\cos (x + y) \sin y - \sin (x + y) \cos y$ 的结果为（）

A、 $\sin (x + 2 y)$ B、 $- \sin (x + 2 y)$ C、 $\sin x$ D、 $- \sin x$

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3. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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4. 在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形

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5. 设 $a = sin 14 ° + cos 14 °$ ， $b = sin 16 ° + cos 16 °$ ， $c = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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6. $(2 \sqrt{3} sin 70 ° - tan 70 °) sin 80 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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7. $sin 18^{\circ} \cdot sin 78^{\circ} - cos 162^{\circ} \cdot cos 78^{\circ}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 若 $0 < α < \frac{π}{2} ， - \frac{π}{2} < β < 0 ， cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3} ， cos (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $cos (α + \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{27}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{9}$

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9. 已知 $tan (\frac{π}{4} + α) = - 2$ ，则 $\frac{1 - sin 2 α}{cos 2 α} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、- $\frac{1}{2}$

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10. 已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) + \sin α = - \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ， $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，则 $\cos (α + \frac{2 π}{3})$ 等于( )

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题

11. 已知 $cos α = \frac{3}{5}$ ， $α \in$ $(- \frac{π}{2} ， 0) ，$ 则 $sin 2 α =$ .

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12. (1＋tan15°)(1＋tan30°)＝.

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13. 已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，则 $\tan α$ 的值是.

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14. 已知 $sin (α + \frac{π}{6}) - cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (2 α - \frac{π}{3})$ 的值为．

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15. 已知 $tan (α + β) = \frac{2}{5}$ ， $tan (β - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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16. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $2 \sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α - 3 \cos^{2} α = 0$ ，则 $\frac{\sin (α + \frac{π}{4})}{\sin 2 α + \cos 2 α + 1} =$ .

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三、解答题

17. 已知sinα= $\frac{2}{3}$ ，cosβ=﹣ $\frac{3}{4}$ ，α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），β∈（π， $\frac{3 π}{2}$ ），求cos（α﹣β）的值．

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18. 已知 $α$ 为锐角且 $\tan (\frac{π}{4} + α) = 2$ .

(1)、求tan $α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sqrt{2} \sin (2 α + \frac{π}{4}) \cos α - \sin α}{\cos 2 α}$ 的值．

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19. 已知 $α \in （ \frac{π}{2} ， π ）$ ，且 $sin α = \frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $sin 2 α$ 的值；
（Ⅱ）若 $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $sin β$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 cos x cos (x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} {sin}^{2} x + sin x cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、把 $f (x)$ 的图象向右平移 $m$ 个单位后，在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 是增函数，当 $| m |$ 最小时，求 $m$ 的值．

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