2015年高考数学真题试卷（江苏省）

试卷更新日期：2016-04-13 类型：高考真卷

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题卡相应的位置

1. 已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A $\cup$ B中元素的个数为。

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2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 .

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3. 设复数z满足z²=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 .

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4.
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 .

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5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .

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6. 已知向量a=（2，1），b=（1，-2），若ma+nb=(9，-8)(m，n $\in$ R)，则m-n的值为 .

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7. 不等式 $2^{x^{2} - x}$ <4的解集为 .

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8. 已知tan $α$ =-2，tan( $α$ + $β$ )= $\frac{1}{7}$ ，则tan $β$ 的值为。

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9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。

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10. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m $\in$ R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .

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11. 数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1(n $\in$ N^*)，则数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ }的前10项和为。

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12. 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x²-y²=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为。

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13. 设向量a_k=（cos $\frac{k π}{6}$ ， sin $\frac{k π}{6}$ +cos $\frac{k π}{6}$ )(k=0，1，2...，12)，则 $\sum_{k - 0}^{11}$ (a_ka_k+₁)的值为。

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

14. 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.

(1)、求BC的长；

(2)、求sin2C的值.

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15.
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁ ，设AB₁的中点为D，B₁CB $\cap$ C₁=E.求证：

(1)、DE∥平面AA₁C₁C

(2)、BC₁⊥AB₁

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16.
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为了l₁ ， l₂ ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ， N为C的两个端点，测得点M到l₁ ， l₂ 的距离分别为5千米和40千米，点N到l₁ ， l₂的距离分别为20千米和2.5千米，以l₁ ， l₂所在的直线分别为x ， y轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C符合函数y= $\frac{a}{x^{2} + b}$ （其中a ， b为常数）模型.

(1)、求a ， b的值；

(2)、设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

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17.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点F到左准线l的距离为3.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过F的直线与椭圆交于A ， B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P ， C ，若PC=2AB ，求直线AB的方程.

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18. 已知函数f(x)=x³+ax²+b(a，b $\in$ R).

(1)、试讨论f(x)的单调性；

(2)、若b=c-a（实数c是a与无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(- $\infty$ ， -3) $\cup$ (1， $\frac{3}{2}$ ) $\cup$ ( $\frac{3}{2}$ ， + $\infty$ )，求c的值.

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