2016-2017学年江苏省南京市高淳区高二下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-08-17 类型：期末考试

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一、填空题

1. 学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是．

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2. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是．

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3. 已知i是虚数单位，则复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 的实部为．

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4. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ = ．

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5. 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为 m．

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6. 已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是．
⑴若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
⑵若m⊥α，n⊥α，则m∥n
⑶若m∥α，n∥α，则m∥n
⑷若m∥α，m∥β，则α∥β

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7. 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．

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8. 函数 $y = 2 s i n (\frac{π}{4} - 2 x)$ 的单调增区间是．

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9. 在△ABC中，a=2，b=6，B=60°，则c= ．

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10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $(\sqrt{3} b - c) c o s A = a c o s C$ ，则 $t a n (A - \frac{π}{4})$ = ．

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11. 函数y=log_a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为．

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12. 已知数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是a_n=（﹣1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+ $\frac{{(- 1)}^{n + 2017}}{n}$ ，若a_n＜b_n ，对任意n∈N₊恒成立，则实数a的取值范围是．

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13. 在△ABC中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ，sinB=cosA•sinC，S_△_ABC=6，P为线段AB上的点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则xy的最大值为．

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14. 已知f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x - 1} (x \geq 1) \\ 3 x - 2 (x < 1) \end{matrix}$ ，若不等式 $f (c o s^{2} θ + λ s i n θ - \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \geq 0$ 对任意的 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立，则整数λ的最小值为．

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二、简答题

15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量 $\vec{m}$ =（a， $\sqrt{3}$ b）与 $\vec{n}$ =（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a= $\sqrt{7}$ ，b=2，求△ABC的面积．

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16. 在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，D为棱CC₁上任一点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC₁B₁ ．

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17. 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

(1)、若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

(2)、已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

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18. 锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA﹣tanB= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （1+tanAtanB）．
（Ⅰ）若c²=a²+b²﹣ab，求角A、B、C的大小；
（Ⅱ）已知向量 $\vec{m}$ =（sinA，cosA）， $\vec{n}$ =（cosB，sinB），求|3 $\vec{m}$ ﹣2 $\vec{n}$ |的取值范围．

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19. 设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

(1)、当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；

(2)、当0＜a＜ $\frac{1}{2}$ 时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；

(3)、当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

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20. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且2S_n=（n+2）a_n﹣1（n∈N^*）．

(1)、求a₁的值；

(2)、求数列{a_n}的通项公式；

(3)、设T_n= $\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \frac{1}{a_{3} a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，求证：T_n＜ $\frac{5}{3}$ ．

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