2016-2017学年湖北省天门、仙桃、潜江三市联考高二下学期期末数学试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-17 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5} i$ C、1 D、i

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2. 已知全集U=R，集合A={x|x²+x＞0}，集合B= ${y | y = \frac{2}{2^{x} + 1} ， x \in R}$ ，则（∁_UA）∪B=（）

A、[0，2） B、[﹣1，0] C、[﹣1，2） D、（﹣∞，2）

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3. 设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知命题p：∀x∈R，2^x＜3^x；命题q：∃x∈R，x³=1﹣x² ，则下列命题中为真命题的是（）

A、p∧q B、￢p∧q C、p∧￢q D、￢p∧￢q

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5. 与直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是（）

A、3x﹣4y+5=0 B、3x﹣4y﹣5=0 C、3x+4y﹣5=0 D、3x+4y+5=0

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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7. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线与圆x²+（y﹣2）²=1至多有一个交点，则双曲线的离心率为（）

A、 $(1 ， \sqrt{2}]$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、（1，2] D、（1，4]

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8. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 7 \leq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ 2 x - y - 5 \geq 0 \end{matrix}$ 则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 若抛物线y²=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（）

A、y²=4x B、y²=36x C、y²=4x或y²=36x D、y²=8x或y²=32x

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10. 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示．若输入m=98，n=63，则输出的m=（）

A、7 B、28 C、17 D、35

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11. 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知f（x）=x³﹣3x，则函数h（x）=f[f（x）]的零点个数是（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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二、填空题

13. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 0.76$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为万元．

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14. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足S_n=2a_n﹣2，则 $\frac{a_{8}}{a_{6}}$ = ．

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15. 设圆x²+y²=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为．

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16. 设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣4.3]=﹣5．给出下列命题：
①对任意实数x，都有[x]﹣x≤0；
②若x₁≤x₂ ，则[x₁]≤[x₂]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函数f（x）= $\frac{2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ ，则y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{﹣1，0}．
其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ }的前n项和，若T_n≤λa_n₊₁对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

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18. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生表2：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
频数
15
3
y

(1)、从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

(2)、由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：
K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
P（K²＞k₀）
0.05
0.05
0.01
k₀
2.706
3.841
6.635

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19. 如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE= $\frac{1}{2}$ CD=2，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成的两部分的体积之比．

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20. 已知函数f（x）=alnx﹣4x，g（x）=﹣x²﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知椭圆C₁ ，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2 $\sqrt{3}$ ），（一2，0），（4，一4），（ $\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}$ ）．
（Ⅰ）求C₁ ， C₂的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交与不同的两点M，N且满足 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ ？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

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22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线 $C_{1} ： {\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} t \\ y = - \sqrt{2} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）将曲线C₁ ， C₂分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；
（Ⅱ）设F（1，0），曲线C₁与曲线C₂相交于不同的两点A，B，求|AF|+|BF|的值．

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23. 已知f（x）=2|x+1|﹣x的最小值为b．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）已知a≥b，求证： $\sqrt{2 a - b} + \sqrt{a^{2} - b} \geq a$ ．

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收入x（万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出y（万元）	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8

等级	优秀	合格	尚待改进		等级	优秀	合格	尚待改进
频数	15	x	5		频数	15	3	y

	男生	女生	总计
优秀
非优秀
总计

P（K²＞k₀）	0.05	0.05	0.01
k₀	2.706	3.841	6.635