2015年高考文数真题试卷（湖南卷）

试卷更新日期：2016-04-13 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.
1. 已知 $\frac{(1 - i)^{2}}{z}$ =1+i（i为虚数单位），则复数z= ( )
A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i
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2.
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数为( )

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 设x $\in$ R，则“x>1”是“x²>1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若变量x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ y - x \leq 1 \\ x \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=2x-y的最小值为( )

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5.
执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7. 若实数a，b 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \sqrt{a b}$ ，则ab的最小值为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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8. 设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是( )

A、奇函数，且在（0，1）上是增函数 B、奇函数，且在（0，1）上是减函数 C、偶函数，且在（0，1）上是增函数 D、偶函数，且在（0，1）上是减函数

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9. 已知点A，B，C在圆x²+y²=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则 $|\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}|$ 的最大值为( )

A、6 B、7 C、8 D、9

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10.
某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A、 $\frac{8}{9π}$ B、 $\frac{8}{27 π}$ C、 $\frac{24 (\sqrt{2} - 1)^{2}}{π}$ D、 $\frac{8 (\sqrt{2} - 1)^{2}}{π}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. 已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A $\cup$ (C_uB)= .

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12. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ，则曲线C的直角坐标方程为 .

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13. 若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r= ，

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14. 若函数f(x)=|2^x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是 .

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15. 已知 $ω$ >0，在函数y=2sin $ω$ x与y=2cos $ω$ x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 $\sqrt{3}$ ，则 $ω$ = 、

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三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A₁ ， A₂和1个白球B的甲箱与装有2个红球a₁ ， a₂和2个白球b₁ ， b₂的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

(1)、用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)、有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

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17. 设 $△ A B C$ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA

(1)、证明：sinB=cosA

(2)、若sinC-sinAcosB= $\frac{3}{4}$ ，且B为钝角，求A,B，C

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18.
如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点。

(1)、证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；

(2)、若直线AC₁与平面AA₁BB₁所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1, a₂=2，且a_n+1=3S_n-S_n+1+3(n $\in N^{*}$ )

(1)、证明：a_n+2=3a_n；

(2)、求S_n

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20. 已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的一个焦点，C₁与C₂的公共弦长为2 $\sqrt{6}$ ，过点F的直线l与C₁相交于A， B两点，与C₂相交于C，D两点，且 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 同向.

(1)、求C₂的方程

(2)、若|AC|=|BD|，求直线l的斜率

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