2015年高考文数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1. 已知集合 $A = \{x | 2 < x < 4\}$ ， $B = \{x | (x - 1) (x - 3) < 0\}$ 则 $A \cap B$ ( )

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, 4)$

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2. 若复数Z满足 $\frac{\bar{z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则Z=( )

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 设 $a = 0 . 6^{0.6} ， b = 0 . 6^{1.5} ， c = 1 . 5^{0.6}$ 则 $a ， b ， c$ 的大小关系是( )

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 要得到函数 $y = \sin (4 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = \sin 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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5. 设 $m \in R$ ，命题“若 $m > 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根”的逆否命题是( )

A、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m > 0$ B、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m \leq 0$ C、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m > 0$ D、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m \leq 0$

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6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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7. 在区间 $[0 ， 2]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件“ $- 1 \leq \log_{\frac{1}{2}} (x + \frac{1}{2} \leq 1)$ ”发生的概率为( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 若函数 $f (x)$ = $\frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ 是奇函数，则使 $f (x)$ $> 3$ 成立的 $x$ 的取值范围为( )

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )。

A、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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10. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x - b ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $f (f (\frac{5}{6})) = 4$ ，则 $b =$ ( )

A、 $1$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.
执行右边的程序框图，若输入的 $x$ 的值为1，则输出的 $y$ 的值是 .

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12. 若 $x$ 满足约束条件{ $\begin{matrix} y - x \leq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ 则 $z = x + 3 y$ 的最大值为 .

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13. 过点 $p (1 ， \sqrt{3})$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则 $A B$ · $P B$ = .

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14. 定义运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} (x ， y \in R ， X Y \neq 0)$ .当 $x > 0 ， y > 0$ 时， $x \otimes y + (2 y) \otimes x$ 的最小值是 .

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三、解答题：共6小题，共75分

15. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
$A_{1}$ 被选中且 $B_{2}$ 未被选中的概率.

参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅ ， 3名女同学B₁ ， B₂ ， B₃ ．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A₁被选中且B₁未被选中的概率．

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16. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}$ ， $a c = 2 \sqrt{3}$
求 $\sin A$ 和 $c$ 的值.

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17.
如图，三棱台 $D E F$ - $A B C$ 中， $A B$ $=$ $2$ $D E$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D$ $/ /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F$ $⊥$ $B C$ ， $A B$ $⊥$ $B C$ ，求证：平面 $B C D$ $⊥$ $E G H$ 。

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\{\frac{1}{a_{n} \cdot a_{a n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2 n + 1}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 设函数 $f (x)$ = $(x + a) \ln x$ . 已知曲线 $y$ = 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、是否存在自然数 $k$ ，使得方程 $f (x)$ = $g (x)$ 在 $(k ， k + 1)$ 内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

(3)、设函数 $m (x)$ = $m i n$ $\{f (x) ， g (x)\}$ ( $m i n \{p ， q\}$ 表示， $p ， q$ 中的较小值），求 $m (x)$ 的最大值.

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	参加书法社团	未参加书法社团
参加演讲社团	8	5
未参加演讲社团	2	30