2015年高考文数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $A = \{2, 3, 5\}$ ，集合 $B = \{1,, 3, 4, 6\}$ ，则集合 $A \cap (C_{U} B) =$

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{1, 4, 6\}$ D、 $\{2, 3, 5\}$

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2. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 3 x + y$ 的最大值为

A、7 B、8 C、9 D、14

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3. 设 $x \overset{\land}{I} R$ ，则" $1 < x < 2$ "是" $|x - 2| < 1$ "的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2 ， 0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 相切，则双曲线的方程为

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{13} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{13} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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5.
如图，在圆 $O$ 中， $M ， N$ 是弦 $A B$ 的三等分点，弦 $C D ， C E$ 分别经过点 $M ， N$ 若 $C M = 2 ， M D = 4 ， C N = 3$ ，则线段 $N E$ 的长为

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{|x - m|} - 1$ ( $m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f (\log_{0.5}) 3 ， b = f (\log_{2} 5) ， c = f (2 m)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 - |x| ， x ? 2 \\ {(x - 2)}^{2} ， x > 2 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = 3 - f (2 - x)$ ，则函数 $y = f (x) - g (x)$ 的零点的个数为

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

8. $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ 的结果为 .

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9.
一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ），则该几何体的体积为 $m^{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = a x 1 n x ， x \in (0 ， + \infty)$ ，其中 $a$ 为实数， $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若 $f' (1) = 3$ ，则 $a$ 的值为。

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a b = 8$ ，则当 $a$ 的值为时 $\log_{2} a \cdot \log_{2} (2 b)$ 取得最大值。

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12. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C$ $A B = 2 ， B C = 1 ， ∠ A B C = 60 °$ .点 $E$ 和点 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $C D$ 上，且 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C} ， \vec{D F} = \frac{1}{6} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为。

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13. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0) ， x \in R$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- ω ， ω)$ 内单调递增，且函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = ω$ 对称，则 $ω$ 的值为。

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三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

14. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛

(1)、求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数

(2)、将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能的结果；（2）设 $A$ 为事件“编号为 $A_{5} ， A_{6}$ 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件 $A$ 发生的概率

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15. $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}, b - c = 2, \cos A = - \frac{1}{4}$ ，问：（1）求 a 和 sin C 的值（2）求 cos 2 A + π 6 的值

(1)、求 $a$ 和 $\sin C$ 的值

(2)、求 $\cos (2 A + \frac{π}{6})$ 的值

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16.
如图，已知 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， B B_{1} ∥ A A_{1} ， A B = A C = 3 ， B C = 2 \sqrt{5} ， A A_{1} = \sqrt{7} ， B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ，点 $E ， F$ 分别是 $B C ， A_{1} C$ 的中点。

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$

(2)、求证：平面 $A E A_{1} ⊥$ 平面 $B C B_{1}$

(3)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小

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17. 已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $\{b_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1 ， b_{2} + b_{3} = 2 a_{3} ， a_{5} - 3 b_{2} = 7$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式

(2)、设 $c_{n}$ = $a_{n} b_{n} ， n$ $\in$ $N^{*}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ，左焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(1)、求直线 $B F$ 的斜率

(2)、设直线 $B F$ 与椭圆交于点 $P$ （ $P$ 异于点 $B$ ），过点 $B$ 且垂直于 $B P$ 的直线与椭圆交于点 $Q$ （ $Q$ 异于点 $B$ ）直线 $P Q$ 与 $y$ 轴交于点 $M ， |P M| = λ |M Q|$
（i）求λ的值
（ii）若 $|P M| \sin ∠ B Q P = \frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程

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19. 已知函数 $f (x) = 4 x - x^{4}$ ， $x \in R，$ 问
（1）求 f x 的单调区间（2）设曲线 y = f x 与 x 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 P 处的切线方程为 y = $g (x)$ ，求证：对于任意的正实数 x ，都有 $f (x)$ ∈ $g (x)$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) \in g (x)$ ；

(3)、若方程 $f (x) = a$ （ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < - \frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$ .

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