2015年高考理数真题试卷（重庆卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.
已知集合 $A = \{1 ， 2 ， 3\}$ ， $B = \{2 ， 3\}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $A \notin B$ D、 $B \notin A$

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2} = 4, a_{4} = 2,$ 则 $a_{6} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、6

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3.
重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是（）

A、19 B、20 C、21.5 D、23

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4. " $x > 1$ "是” $\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) < 0$ “的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} + π$ B、 $\frac{2}{3} + π$ C、 $\frac{1}{3} + 2 π$ D、 $\frac{2}{3} + 2 π$

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6. 若非零向量 $a$ ， $b$ 满足 $|a| = \frac{2 \sqrt{2}}{3} |b|$ ，且 $(a - b) ⊥ (3 a + 2 b)$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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7.
执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）

A、 $s \leq \frac{3}{4}$ B、 $s \leq \frac{5}{6}$ C、 $s \leq \frac{11}{12}$ D、 $s \leq \frac{15}{24}$

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8. 已知直线 $l$ : $x + a y - 1 = 0 (a \in R)$ 是圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的对称轴。过点 $A (- 4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为B，则AB= （）

A、 $2$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $2 \sqrt{10}$

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9.
若 $\tan a = 2 \tan \frac{π}{5} ，$ 则 $\frac{\cos (a - \frac{3 π}{10})}{\sin (α - \frac{π}{5})} =$ ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为1，过 $F$ 作 $A F$ 的垂直与双曲线交于 $B ， C$ 两点，过 $B ， C$ 分别作 $A C$ ， $A B$ 垂直交于点 $D$ ，若 $D$ 到直线 $B C$ 的距离小于 $a + \sqrt{a^{2} + b^{2}} ，$ 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \sqrt{2} ， 0) \cup (0 ， \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2} ， + \infty)$

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二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案答案填在答题卡相应位置上

11.
设复数 $a + b i (a ， b \in R)$ 的模为 $\sqrt{3}$ ，则 $(a + b i) (a - b i) =$ 。

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12. ${(x^{3} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中 $x^{8}$ 的系数是（用数字作答）。

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13. 在 $∠ A B C$ 中， $B = 120 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A$ 的角平分线 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $A C =$ 。

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14.
如图，圆O的弦AB ， CD相交于点E ，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE= 。

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15. 已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $c$ 的极坐标方程为 $p^{2} \cos 2 θ = 4 (p > 0, \frac{3 π}{4} < θ < \frac{5 π}{4}),$ 则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为。

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16. 若函数 $f (x) = |x + 1| + 2 |x - a|$ 的最小值为5，则实数 $a =$ 。

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三、解答题，本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或解答步骤

17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

(1)、求三种粽子各取到1个的概率；

(2)、设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望

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18.
如题（19）图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P C = 3$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2} .$ $D ， E$ 分别为线段 $A B ， B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2} ， C E = 2 E B = 2 .$

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值。

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19. 设 $f (x) = \frac{3 x^{2} + a x}{e^{x}} (a \in R)$

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在[ $3 ， + \infty$ )上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

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20.
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2 ，}$ 过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ， Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P F_{1}$

(1)、若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2} ， |P F_{2}| = 2 - \sqrt{2} ，$ 求椭圆的标准方程；

(2)、若 $|P F_{1}| = |P Q|$ ，求椭圆的离心率 $e$ .

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21. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} a_{n} + λ a_{n + 1} + μ {a_{n}}^{2} = 0 (n \in N_{+})$

(1)、若 $λ = 0$ ， $μ = - 2$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通向公式；

(2)、若 $λ = \frac{1}{k_{0}} (k_{0} \in N_{+} ， k_{0} \geq 2)$ ， $μ = - 1$ ，证明： $2 + \frac{1}{3 k_{0} + 1} < a_{k_{0} + 1} < 2 + \frac{1}{2 k_{0} + 1}$ 。

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