2015年高考文数真题试卷（安徽卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i)=（）

A、3+3i B、-1+3i C、3+i D、-1+i

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2. 设全集 $\cup = \{1.2.3.4.5.6\}$ ， $A = \{1.2\}$ ， $B = \{2.3.4\}$ ，则 $A \cap (C_{U} B)$ =（）

A、{1，2，5，6} B、{1} C、{2} D、{1，2，3，4，}

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3. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A、y=lnx B、 $y = x^{2} + 1$ C、y=sinx D、y=cosx

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5. 已知x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则z=-2x+y的最大值是（）

A、-1 B、-2 C、-5 D、1

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6.
执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 直线3x+4y=b与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 相切，则b=（）

A、-2或12 B、2或-12 C、-2或-12 D、2或12

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8.
一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $1 + 2 \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9.
函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图像如图所示，则下列结论成立的是（）

A、a>0，b<0，c>0，d>0 B、a>0，b<0，c<0，d>0 C、a<0，b<0，c<0，d>0 D、a>0，b>0，c>0，d<0

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡相应的位置

10. $1 g \frac{5}{2} + 21 g 2 - {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ 。

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11. 在 $△$ ABC中， $A B = \sqrt{6} ， ∠ A = 75 ° ， ∠ B = 45 °$ ，则AC=。

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12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1 = 1 ， a_{n} = a_{n - 1} + \frac{1}{2} (n \geq 2)}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前9项和等于 .

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13. 在平面角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为。

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14. $△$ ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{a} ， \vec{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号）.
① $\vec{a}$ 为单位向量；② $\vec{b}$ 为单位向量；③ $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ；④ $\vec{b}$ // $\vec{B C}$ ；⑤ （4 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{B C}$ 。

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三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域

15. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \cos 2 x$

(1)、求 $f (x)$ 最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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16.
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40.50] . [50.60] \dots [80.90] . [90.100]$

（Ⅰ）求频率分布图中a的值；

（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（Ⅲ）从评分在 $[40.60]$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[40.50]$ 的概率。

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四、综合题

17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1} + a_{4} = 9 ， a_{2} a_{3} = 8 ，$

(1)、（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、（Ⅱ）设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $\{T_{n}\}$ .

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18.
如图，三棱锥P-ABC中，PA $⊥$ 平面ABC， $P A = 1 . A B = 1 . A C = 2 . ∠ B A C = 60 ° .$

(1)、（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；

(2)、（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC $⊥$ BM，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值.

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19. 设椭圆E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .
（Ⅰ）求E的离心率e;
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MN $⊥$ AB.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{{(x + r)}^{2}} (a > 0 . r > 0)$ ，

(1)、（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、（Ⅱ）若 $\frac{a}{x} = 400$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 . + \infty)$ 内的极值.

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