2015年高考理数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合 $A = \{X |X^{2} - 4 X + 3 < 0|\}$ ， $B = \{X |2 < X < 4|\}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、(1，3) B、(1，4) C、(2，3) D、(2，4)

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2. 若复数 $Z$ 满足 $\frac{\bar{Z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 为虚数为单位，则 $Z$ =（）

A、1- $i$ B、1+ $i$ C、-1- $i$ D、-1+ $i$

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3. 要得到函数 $y = \sin (4 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = \sin 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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4. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{C D}$ =（）

A、 $- \frac{3}{2} a^{2}$ B、 $- \frac{3}{4} a^{2}$ C、 $\frac{3}{4} a^{2}$ D、 $\frac{3}{2} a^{2}$

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5. 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(1 ， 5)$

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6. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y ⩾ 0 \\ x + y ⩽ 2 \\ y ⩾ 0 \end{matrix}$ ，若 $z = a x + y$ 的最大值为4，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、-2 D、-3

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7. 在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A D / / B C ， B C = 2 A D = 2 A B = 2$ .将梯
形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、2 $π$

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8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 $N (0 ， 3^{2})$ ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 $N (μ ， δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < ξ < μ + δ) = 68 . . 26$ ％， $P (μ - 2 δ < ξ < μ + 2 δ) =$ $95 . . 44$ ％

A、4.56% B、13.59% C、27.18% D、31.74%

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9. 一条光线从点 $(- 2 ， - 3)$ 射出，经 $y$ 轴反射后与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{5}{3}$ 或 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{5}{4}$ 或 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{3}$ 或 $- \frac{3}{4}$

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10. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x - 1 ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的 $a$ 取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{3} ， 1]$ B、 $[0 ， 1]$ C、[ $\frac{2}{3} ， + \infty$ ) D、[ $1 ， + \infty$ )

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.
观察下列各式：
$C_{1}^{0} = 4^{0}$
$C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = 4^{1}$
$C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 4^{2}$
$C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + C_{7}^{2} + C_{7}^{3} = 4^{3}$
……
照此规律，当n $\in$ N时，
$C_{2 n - 1}^{0} + C_{2 n - 1}^{1} + C_{2 n - 1}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{2 n - 1}^{n - 1} =$ .

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12. 若“ $\forall x \in [0 ， \frac{π}{4}] ， \tan x \leq m$ ”是真命题，则实数m的最小值为 .

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13.
执行右边的程序框图，输出的T的值为 .

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14. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (a > 0 ， a \neq 1)$ 的定义域和值域都是 $[- 1 ， 0]$ ，则 $a + b =$ .

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15. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C_{1： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$}的渐近线与抛物线 $C_{2 ：} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于点 $O ， A ， B$ ，若 $△ O A B$ 的垂心为 $C_{2}$ 的焦点，则 $C_{1}$ 的离心率为 .

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三、解答题，本大题共6小题，共75分

16. 设 $f (x) = \sin x \cos x - \cos^{2} (x + \frac{π}{4})$ ,求解下列问题：

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $∠ A, B, C$ ,的对边分别为 $a, b, c$ ,若 $f (\frac{A}{2}) = 0, a = 1$ ,求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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17.
如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E ， G ， H$ 分别为 $A C ， B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F$ $⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C ， C F = D E ， ∠ B A C = 45^{°} ，$ 求平面 $F G H$ 与平面 $A D F E$ 所成的角（锐角）的大小.

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18. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $s_{n}$ .已知. $2 s_{n} = 3^{n} + 3$ .(1)求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式(2)若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.

(1)、写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

(2)、若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.

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20. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1 ， p$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $p$ 的直线y=kx=m交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .

(1)求 $\frac{|O Q|}{|O P|}$ 的值；

(1)求 $△ A B Q$ 面积的最大值

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