2015年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集 $U = \{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8\}$ ，集合 $A = \{2 ， 3 ， 5 ， 6\}$ ，集合 $B = \{1 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7\}$ ，则集合 $A \cap C_{u} B =$ ( )

A、 $\{2 ， 5\}$ B、 $\{3 ， 6\}$ C、 $\{2 ， 5 ， 6\}$ D、 $\{2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8\}$

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2. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 6 y$ 的最大值为( )

A、3 B、4 C、18 D、40

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3.
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )

A、-10 B、6 C、14 D、18

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $|x - 2| < 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的( )

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5.
如图，在圆 $O$ 中， $M$ ， $N$ 是弦 $A B$ 的三等分点，弦 $C D$ ， $C E$ 分别经过点 $M$ ， $N$ .若 $C M = 2 ， M D = 4 ， C N = 3$ ，则线段 $N E$ 的长为( )

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > b)$ 的一条渐近线过点 $(2 ， \sqrt{3})$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{28} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{28} - \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{|x - m|} - 1$ ( $m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f (\log_{0.5} 3) ， b = f (\log_{2} 5) ， c = f (2 m)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 - |x| ， x \leq 2 \\ {(x - 2)}^{2} ， x > 2 \end{matrix}$ 函数 $g (x) = b - f (2 - x)$ ，其中 $b \in R$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 恰有4个零点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{4} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{4})$ C、 $(0 ， \frac{7}{4})$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2)$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9. $i$ 是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为。

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10.
一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ），则该几何体的体积为 $m^{3}$

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11. 曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x$ 所围成的封闭图形的面积为。

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12. 在 ${(x - \frac{1}{4 x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为。

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ $b - c = 2 ， \cos A = - \frac{1}{4}$ ，则 $a$ 的值为。

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14. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C ， A B = 2 ， B C = 1 ， ∠ A B C = 60 °$ ，动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C} ， \vec{D F} = \frac{1}{9 λ} \vec{D C}$ 则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为。

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三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}) ， x \in R$

(1)、求 $f (x)$ 最小正周期

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值

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16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、设 $A$ 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件 $A$ 发生的概率

(2)、设 $x$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $x$ 的分布列和数学期望

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17.
如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ⊥ A C ， A B = 1 ， A C = A A_{1} = 2 ， A D = C D = \sqrt{5}$ 且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点

(1)、求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$

(2)、求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值

(3)、设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A ， E$ 的长

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ （ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ）， $n \in N^{*} ， a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ，$ 且 $a_{2} + a_{3} ， a_{3} + a_{4} ， a_{4} + a_{5}$ 成等差数列

(1)、求 $q$ 的值和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式

(2)、设 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} ， n \in N^{*} ，$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{4}}{4}$ 截得的线段的长为 $c ， |F M| = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求直线 $F M$ 的斜率

(2)、求椭圆的方程

(3)、设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $F P$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$ （ $O$ 为原点）的斜率的取值范围

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20. 一直函数 $f (x) = n x - x^{n} ， x \in R$ ，其中 $n \in N^{*} ， n \geq 2$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性

(2)、设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) \leq g (x)$

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ （ $a$ 为实数）有两个正实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2$

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