2015年高考文数真题试卷（湖北卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1. i为虚数单位，^{$i^{607} =$}（）

A、-i B、i C、-1 D、1

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2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A、134石 B、169石 C、338石 D、1365石

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3. 命题“， $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $I n x_{0} = x_{0 - 1}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} (0 ， + \infty) ， I n x_{0} \neq x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty) ， I n x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $I n$ $x \neq x - 1$ D、 $\forall x \notin (0 ， + \infty) ， I n x = x - 1$

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4. 已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y = - 0.1 x + 1$ ，变量 $y$ 与 $z$ 正相关. 下列结论中正确的是（）

A、 $x$ 与 $y$ 负相关， $x$ 与 $z$ 负相关 B、 $x$ 与 $y$ 正相关， $x$ 与 $z$ 正相关 C、 $x$ 与 $y$ 正相关， $x$ 与 $z$ 负相关 D、 $x$ 与 $y$ 负相关， $x$ 与 $z$ 正相关

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5. $l_{1 ，} l_{2}$ 表示空间中的两条直线，若p： $l_{1 ，} l_{2}$ 是异面直线；q： $l_{1 ，} l_{2}$ 不相交，则（）

A、p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B、p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C、p是q的充分必要条件 D、p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{4 - |x|} + 1 g \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(2 ， 3) \cup (3 ， 4]$ D、 $(- 1 ， 3) \cup (3 ， 6]$

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7. 设 $x \in R$ ,定义符号函数 $s g n x = \{\begin{matrix} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ ,则（）

A、 $|x| = x |s g n x|$ B、 $|x| = x s g n |x|$ C、 $|x| = |x| s g n x$ D、 $|x| = x s g n x$

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8. 在区间的概率， $p_{2}$ 为事件“ $x + y \leq \frac{1}{2}$ ”的概率，则（）

A、 $_{} P_{1} < P_{2}< \frac{1}{2}$ B、 $p_{1} < \frac{1}{2} < p_{2}$ C、 $p_{2} < \frac{1}{2} < p_{1}$ D、 $\frac{1}{2} < p_{2}_{}$ $< P_{1}$

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9. 将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $c_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b (a \neq b)$ 同时增加 $(m > 0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $c_{2}$ ，则（）

A、对任意的 $a ， b ， e_{1} > e_{2}$ B、当 $a > b$ 时， $e_{1} > e_{2}$ ；当 $a < b$ 时， $e_{1} < e_{2}$ C、对任意的 $a ， b ， e_{1} < e_{2}$ D、当 $a > b$ 时， $e_{1} < e_{2}$ ；当 $a < b$ 时， $e_{1} > e_{2}$

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10. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 1 ， x ， y \in Z}$ ， $B = {(x ， y) | |x| \leq 2 ， |y| \leq 2 ， x ， y \in Z}$ ，定义集合
$A \oplus B = {(x_{1} + x_{2} ， y_{1} + y_{2}) | (x_{1 ，} y_{1}) \in A ， (x_{2} y_{2}) \in B}$ ，则 $A \oplus B$ 中元素的个数为（）

A、77 B、49 C、45 D、30

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二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡相对应的位置

11. 已知向量 $\vec{O A} ⊥ \vec{A B} ，$ $|\vec{O A}| = 3$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ ．

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12. .若变量 $x ， y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + y \leq 4 \\ x - y \leq 2 \\ 3 x - y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $3 x + y$ 的最大值是．

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13. 函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + \frac{π}{2}) - x^{2}$ 的零点个数为 .

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14.
某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额
   （单位：万元）都在区间 $[0.3 ， 0.9]$ 内，其频率分布直方图如图所示.
   （Ⅰ）直方图中的 $a =$ ；
   （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间 $[0.5 ， 0.9]$ 内的购物者的人数为 .

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15.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30^{°}$ 的方向上，行驶600m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{°}$ 的方向上，仰角为 $30^{°}$ ，则此山的高度 $C D$ = m.

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16. a为实数，函数 $f (x) = |x^{2} - a x|$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值记为 $g (a)$ . 当 $a =$ 时， $g (a)$ 的值最小.

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17.
如图，已知圆 $c$ 与 $x$ 轴相切于点 $T (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且 $|A B| = 2$

（Ⅰ）圆 $C$ 的标准方程为；
（Ⅱ）圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 .

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三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18. 设等差数列 $\{a_{π}\}$ 的公差为d，前n项和为 $s_{π}$ ，等比数列 $\{b_{π}\}$ 的公比为q．已知 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = 2$ ， $q = d$ ，
$s_{10} = 100$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{π}\}$ ， $\{b_{π}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）当 $d > 1$ 时，记 $c_{π} = \frac{a_{π}}{b_{π}}$ ，求数列 $\{c_{π}\}$ 的前n项和 $T_{π}$ ．

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19.
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD $⊥$ 底面ABCD，且PD=CD，点E是BC的中点，连接DE，BD，BE
(I)证明：DE $⊥$ 底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $E B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

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20. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数， $f (x) + g (x) = e^{z}$ ，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式，并证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ， $f (x) > 1$ ；
（Ⅱ）设 $a \leq 0$ ， $b \geq 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $a g (x) + (1 - a) < \frac{f (x)}{x} < b g (x) + (1 - b)$ .

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四、综合题

21.
一种画椭圆的工具如图1所示． $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 $D N = O N = 1$ ， $M N = 3$ ．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为 $x$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1} ： x - 2 y = 0$ 和 $l_{2} ： x + 2 y = 0$ 分别交于 $p ， Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $c$ 有且只有一个公共点，试探究： $△ O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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