2015年高考文数真题试卷（重庆卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合 $A = \{1 ， 2 ， 3\}$ ， $B = \{1 ， 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{1 ， 2\}$ C、 $\{1 ， 3\}$ D、 $\{1 ， 2 ， 3\}$

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2. “ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 2 x - 3)$ 的定义域是（）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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4.
重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下
则这组数据中的中位数是（）

A、19 B、20 C、21.5 D、23

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5.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} + 2 π$ B、 $\frac{13 π}{6}$ C、 $\frac{7 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{2}$

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6.
若 $\tan α = \frac{1}{3}$ ， $\tan (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7.
已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{b}$ |=4| $\vec{a}$ |，且 $\vec{a}$ ⊥（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8.
执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{25}{24}$

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9. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{α^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点是F，左、右顶点分别是 $A_{1 ，} A_{2} ，$ 过F做 $A_{1} A_{2}$ 的垂线与双曲线交于B，C两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（ )

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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10. 若不等式组 $\{\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 m \geq 0 \end{matrix}$ ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 $\frac{4}{3}$ ，则m的值为（）

A、 $- 3$ B、 $1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $3$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应的位置

11. 复数 $(1 + 2 i) i$ 的实部为 .

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12. 若点 $P (1 ， 2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 .

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13. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $α = 2$ ， $\cos C = - \frac{1}{4}$ ， $3 \sin A = 2 \sin B$ ，则c=

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14. 设 $α ， b > 0 ， α + b = 5$ ，则 $\sqrt{α + 1} + \sqrt{b + 3}$ 的最大值为 .

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15. 在区间 $[\begin{matrix} 0 & 5 \end{matrix}]$ 上随机地选择一个数p，则方程 $x^{2} + 2 p x + 3 p - 2 = 0$ 有两个负根的概率为 .

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三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. 已知等差数列 $\{α_{n}\}$ 满足 $α_{3}$ =2，前3项和 $S_{3}$ = $\frac{9}{2}$ , 问：(1)求 $a_{n}$ 的通项公式(2)设等比数列 $b_{n}$ 满足 $b_{1}$ = $α_{1}$ ， $b_{4}$ = $α_{15}$ ，求 $b_{n}$ 前n项和 $T_{n}$ .

(1)、求 $\{α_{n}\}$ 的通项公式

(2)、设等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = α_{1}$ ， $b_{4} = α_{15}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 前n项和 $T_{n}$ .

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17. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10

(1)、求y关于t的回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} t + \overset{\land}{α}$

(2)、
用所求回归方程预测该地区2015年（ $t = 6$ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} t + \overset{\land}{α}$ 中

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x，回答下列问题$ ：（1）求 $f (x)$ 的最小周期和最小值；（2）将函数 $f (x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原谅的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像。当 x ∈ $π^{2}$ ， π 时，求 $g (x)$ 的值域。

(1)、求 $f (x)$ 的最小周期和最小值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原谅的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像。当 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求 $g (x)$ 的值域。

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19.
已知函数 $f (x) = α x^{2} + x^{2} (α \in R)$ 在 $x = - \frac{4}{3}$ 处取得极值，问（1）确定 α 的值；（2）若 $g (x)$ = $f (x)$ $e^{x}$ ，讨论的单调性。

(1)、确定 $α$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) e^{x}$ ，讨论的单调性。

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20.
如题（20）图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点D、E在线段 $A C$ 上，且 $A D = D E = E C = 2$ ， $P D = P C = 4 ，$ 点 $F$ 在线段 $A B$ 上，且 $E F / / B C .$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P F E$ .

(2)、若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长。

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21.
如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{α^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (α > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ， Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P E_{1}$ 。

(1)、若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2} ， |P F_{2}| = 2 - \sqrt{2} ，$ 求椭圆的标准方程。

(2)、若 $|P Q| = λ |P F_{1}|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq λ \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围。

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年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号t	1	2	3	4	5
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	10